Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Теорема о размерностях суммы и пересечения линейных подпространтсв

Т

Теорема. Имеет место формула:

$$ \dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2=\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2) \ . $$

Доказательство. Пусть $ d_1 = \dim \, \mathbb V_1,\, d_2 = \dim \, \mathbb V_2, \ p =\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) $ и $ \{X_1,\dots,X_p \} $ — базис $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. На основании теоремы 9, приведенной ЗДЕСЬ, этот базис можно дополнить до базисов каждого из подпространств $ \mathbb V_j $: пусть $$ \{X_1,\dots,X_p ,X_{p+1},\dots,X_{d_1} \} \mbox{ - базис } \mathbb V_1 , \ $$ а $$ \{X_1,\dots,X_p ,Y_{p+1},\dots,Y_{d_2} \} \mbox{ - базис } \mathbb V_2 . $$ Докажем, что система $$ \{X_1,\dots,X_p ,X_{p+1},\dots,X_{d_1},Y_{p+1},\dots,Y_{d_2} \} $$ является базисом $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $. Действительно, произвольный вектор $ Z\in \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ можно представить в виде $ Z=Z_1+Z_2 $, где $ Z_j\in \mathbb V_j $. А каждый из слагаемых векторов, в свою очередь, можно разложить в линейную комбинацию базисных векторов соответствующего подпространства.

Покажем, что система л.н.з. Пусть $$ \underbrace{\alpha_1 X_1+\dots + \alpha_p X_p +\alpha_{p+1}X_{p+1}+\dots+\alpha_{d_1} X_{d_1}}_{= U\in \mathbb V_1}+ \beta_{p+1}Y_{p+1}+\dots+ \beta_{d_2}Y_{d_2}=\mathbb O \ . $$ Из этого соотношения вектор $ U_{} $ может быть выражен в виде: $$ U=-\beta_{p+1}Y_{p+1}-\dots -\beta_{d_2}Y_{d_2}\ \in \mathbb V_2 $$ и, таким образом, $ U\in \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Тогда $ U_{} $ выражается через базисные векторы пересечения: $$U=-\beta_{p+1}Y_{p+1}-\dots -\beta_{d_2}Y_{d_2}=\tilde \alpha_1 X_1+\dots+\tilde \alpha_p X_p \ . $$ Отсюда $$\tilde \alpha_1 X_1+\dots+\tilde \alpha_p X_p+\beta_{p+1}Y_{p+1}+\dots +\beta_{d_2}Y_{d_2}=\mathbb O $$ и, следовательно, $$ \tilde \alpha_1=0,\dots, \tilde \alpha_p=0,\beta_{p+1}=0, \dots, \beta_{d_2}=0 \ , $$ поскольку комбинируемые векторы являются базисными для $ \mathbb V_2 $. Итак, $ U=\mathbb O $, но тогда из определения этого вектора вытекает, что $ \alpha_1=0,\dots, \alpha_{d_1}=0 $, т.к. комбинируемые векторы составляют базис $ \mathbb V_1 $. Итак, соотношение $$ \alpha_1 X_1+\dots + \alpha_p X_p +\alpha_{p+1}X_{p+1}+\dots+\alpha_{d_1} X_{d_1}+ \beta_{p+1}Y_{p+1}+\dots+ \beta_{d_2}Y_{d_2}=\mathbb O $$ возможно только при нулевом наборе скаляров, что и означает линейную независимость системы $$ \{X_1,\dots,X_p ,X_{p+1},\dots,X_{d_1},Y_{p+1},\dots,Y_{d_2} \} \ . $$ Мы доказали, что эта система образует базис пространства $ \mathbb V_1+\mathbb V_2 $, но тогда $$\dim \, (\mathbb V_1+\mathbb V_2) = d_1+ d_2 -p \ .$$

linear_space/vspom1.txt · Последние изменения: 2024/03/02 13:04 — au