В настоящем пункте $ \mathbb V_1 $ обозначает линейное подпространство пространства $ \mathbb V_{} $, отличное от тривиального; обозначаем $ d_1=\dim \mathbb V_1 $.

Говорят, что векторы $ \{X_1,X_2\} \subset \mathbb V $ сравнимы по подпространству $ \mathbb V_1 $, если $ X_1-X_2 \in \mathbb V_1 $; этот факт записывают: $$X_1\equiv_{_{\mathbb V_1}} X_2 \ .$$

Все пространство $ \mathbb V_{} $ раскладывается на объединение подмножеств, или классов векторов, сравнимых по подпространству $ \mathbb V_1 $. Если $ X_1\equiv_{_{\mathbb V_1}} X_2 $, $ Y_1\equiv_{_{\mathbb V_1}} Y_2 $, то $ \alpha X_1+\beta Y_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} \alpha X_2+\beta Y_2 $. Два разных класса не пересекаются и полностью определяются заданием любого своего представителя. Поэтому их обозначают $ \overline{X_1}, \overline{X_2},\dots $

Множество классов, сравнимых по подпространству $ \mathbb V_1 $ называется факторпространством $ \mathbb V_{} $ над $ \mathbb V_1 $ и этот объект обозначается $ \mathbb V / \mathbb V_1 $.

Теорема. Факторпространство $ \mathbb V / \mathbb V_1 $ является линейным пространством, базис которого состоит из классов, порожденных векторами, образующими базис $ \mathbb V_{} $ относительно $ \mathbb V_1 $. Обратно, если из каждого базисного класса факторпространства взять по одному вектору, то получим базис $ \mathbb V_{} $ относительно $ \mathbb V_1 $.

Доказательство. Положим: $$ \alpha \overline{X}+\beta \overline{Y}= \overline{\alpha X+\beta Y}\ . $$ Введенное таким образом определение корректно, т.е. не зависит от выбора представителей класса: $${}_{.} \mbox{ если } \ X_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} X, \ Y_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} Y, \ \mbox{ то } \ \alpha X_1+\beta Y_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} \alpha X+\beta Y \ .$$ Легко проверяются свойства линейного пространства.

Далее, $$\alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \in \mathbb V_1 \quad \iff \quad \alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \equiv_{_{\mathbb V_1}} \mathbb O$$ и, на основании (\ref{RI3}): $$\iff \alpha_1\overline{X_1}+\dots+\alpha_k\overline{ X_k} = \overline{\mathbb O} .$$ Линейная независимость $ X_1,\dots,X_k $ относительно $ \mathbb V_1 $ эквивалентна линейной независимости классов $ \overline{X_1},\dots,\overline{ X_k} $ факторпространства. ♦

$ \dim \mathbb V / \mathbb V_1 =\dim \mathbb V-\dim \mathbb V_1 $.

Последняя величина называется коразмерностью подпространства $ \mathbb V_1 $ в пространстве $ \mathbb V $.