Основное
Вспомогательная страница к разделу ☞ РАНГ
Теорема. Если каждый из рядов системы $ \{ A_1,\dots,A_n \} $ линейно выражается через ряды системы $ \{B_1,\dots,B_k \} $ и при этом во второй системе рядов меньше, чем в первой: $ k<n $, то первая система будет л.з.
Доказательство проводится индукцией по $ k $. Если $ k=1 $, то $ A_j=\gamma_j B_1 $ при $ j\in \{1,\dots,n\} $. Если хоть один из рядов $ A_j $ — нулевой, то утверждение следует из пункта а) теоремы 1. Пусть все $ A_j\ne \mathbb O $, тогда и $ \gamma_1 \ne 0 $. Имеем: $$B_1=\frac{1}{\gamma_1}A_1 \ \Longrightarrow \ A_n=\gamma_nB_1= \frac{\gamma_n}{\gamma_1}A_1,$$ т.е. $ A_n $ линейно выражается через $ A_1 $. Из пункта в) теоремы 1 следует справедливость утверждения доказываемой теоремы.
Пусть утверждение справедливо для $ (k-1) $-го рядов. Покажем его справедливость для $ k $ рядов. Пусть $$ \left\{ \begin{array}{lcc} A_1&=&\gamma_{11}B_1+\gamma_{12}B_2+\dots+\gamma_{1k}B_k, \\ \dots & &\dots \\ A_n&=&\gamma_{n1}B_1+\gamma_{n2}B_2+\dots+\gamma_{nk}B_k. \end{array} \right. $$ Пусть в этих равенствах хотя бы один коэффициент отличен от нуля, например, $ \gamma_{nk}\ne 0 $ (если это не так, перенумеруем ряды $ B_1,\dots,B_k $). Тогда $$B_k=\frac{1}{\gamma_{nk}} \left(A_n-\gamma_{n1}B_1-\dots- \gamma_{n,k-1}B_{k-1} \right) \, .$$ Подставляем это выражение в формулы для $ A_1,\dots,A_{n-1} $: $$\underbrace{A_j-\frac{\gamma_{jk}}{\gamma_{nk}}A_n}_{= A_j'}= \left(\gamma_{j1}-\frac{\gamma_{n1}\gamma_{jk}}{\gamma_{nk}} \right)B_1+\dots+ \left(\gamma_{j,k-1}-\frac{\gamma_{n,k-1}\gamma_{jk}}{\gamma_{nk}} \right)B_{k-1} \quad $$ при $ j\in \{1,\dots,n-1\} $. Ряды $ A_1',\dots, A_{n-1}' $ линейно выражаются через ряды $ B_1,\dots,B_{k-1} $. По индукционному предположению система $ \{ A_1',\dots,A_{n-1}' \} $ линейно зависима, т.е. существуют не все равные нулю константы $ \alpha_1,\dots,\alpha_{n-1} $ такие, что $$\alpha_1A_1'+ \dots +\alpha_{n-1}A_{n-1}'=\mathbb O \ \Longrightarrow $$ $$\alpha_1A_1+ \dots +\alpha_{n-1}A_{n-1}+\alpha_{n}A_{n}=\mathbb O \quad npu \quad \alpha_{n}= -\alpha_1\frac{\gamma_{1k}}{\gamma_{nk}}-\dots- \alpha_{n-1}\frac{\gamma_{n-1,k}}{\gamma_{nk}} \, . $$ Следовательно, система $ \{ A_1,\dots,A_n \} $ линейно зависима. ♦