Основное
Вспомогательная страница к разделу ☞ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
Пример. Найти прямую, проходящую через точку $ X_0=[6,5,1,-1]^{^{\top}} $ и пересекающую плоскости $$ \mathbb M_1 = \left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} -x_1&+2\,x_2&+x_3&&= 1, \\ x_1&&&+x_4 &=1 \end{array} \right. \right\} $$ и $$ \mathbb M_2 = \left\{ X=[4+t,4+2\,t, 5+3\,t,4+4\, t]^{^{\top}} \bigg| t\in \mathbb R \right\} \ . $$
Решение. Ищем прямую в виде $$ \mathbb M=\left\{ X=X_0 + \alpha Z \big| \alpha \in \mathbb R \right\} \ , $$ где $ Z=[z_1,z_2,z_3,z_4]^{^{\top}} $ — направляющий вектор искомой прямой, а $ \alpha_{} $ — скаляр (параметр). Условие пересечения $ \mathbb M $ и $ \mathbb M_1 $ состоит в том, что при некотором значении $ \alpha=\alpha_1 $ совпадают координаты на плоскости $ \mathbb M_1 $ и вдоль прямой $ \mathbb M $. $$ \left\{ \begin{array}{rrrrr} -(6+\alpha_1z_1)&+2\,(5+\alpha_1z_2)&+(1+\alpha_1z_3)& &=1 , \\ (6+\alpha_1z_1)&&&+(-1+\alpha_1z_4) &=1 \end{array} \right. \ \iff $$ $$ \iff \ \left\{ \begin{array}{lr} \alpha_1(-z_1+2\,z_2+z_3)&=-4,\\ \alpha_1(z_1+z_4)&=-4. \end{array} \right. $$ Рассмотрев эти уравнения как систему относительно $ \alpha_1 $, выпишем необходимое и достаточное условие ее совместности: $$ \operatorname{rank} \left( \begin{array}{c} -z_1+2\,z_2+z_3 \\ z_1+z_4 \end{array} \right) = \operatorname{rank} \left( \begin{array}{cr} -z_1+2\,z_2+z_3, & -4 \\ z_1+z_4, & -4 \end{array} \right) \ . $$ Последнее удовлетворяется тогда и только тогда, когда $$ \left| \begin{array}{cr} -z_1+2\,z_2+z_3, & -4 \\ z_1+z_4, & -4 \end{array} \right| = 0 \ \iff \ 2\, z_1 -2\, z_2 - z_3 +z_4 =0 \ . $$ Условие пересечения прямых $ \mathbb M $ и $ \mathbb M_2 $ выписывается аналогично: система $$ \left\{ \begin{array}{rl} 6+\alpha_2 z_1 &=4+t, \\ 5+\alpha_2 z_2 &=4+2\,t, \\ 1+\alpha_2 z_3&=5+3\,t, \\ -1+\alpha_2 z_4&=4+4\,t, \end{array} \right. \quad \iff \quad \left\{ \begin{array}{rr} \alpha_2 z_1-\ \, t =&-2, \\ \alpha_2 z_2-2\,t =&-1, \\ \alpha_2 z_3-3\,t=&4, \\ \alpha_2 z_4-4\,t=&5 \end{array} \right. $$ должна быть совместна относительно $ \alpha_2 $ и $ t_{} $. Необходимое и достаточное условие: $$ \operatorname{rank} \left( \begin{array}{rr} z_1 & -1 \\ z_2 & -2 \\ z_3 & -3 \\ z_4 & -4 \end{array} \right) = \operatorname{rank} \left( \begin{array}{rrr} z_1 & -1 & -2\\ z_2 & -2 & -1 \\ z_3 & -3 & 4 \\ z_4 & -4 & 5 \end{array} \right) \ . $$ Поскольку число слева $ \le 2 $, а справа $ \ge 2 $, то имеет смысл выяснить при каких условиях на $ z_1,z_2,z_3,z_4 $ расширенная матрица имеет ранг в точности равный $ 2_{} $. $$ \left( \begin{array}{rrrr} z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\ -1 & -2 &-3 &-4 \\ -2 & -1 & 4 & 5 \end{array} \right) \rightarrow \ \left( \begin{array}{rrrr} -1 & -2 &-3 &-4 \\ -2 & -1 & 4 & 5 \\ z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \end{array} \right) \rightarrow $$ $$ \rightarrow \left( \begin{array}{rccc} 1 & 2 &3 &4 \\ 0 & 3 &10 & 13 \\ 0 & z_2-2\,z_1 & z_3-3\,z_1 & z_4-4\,z_1 \end{array} \right) \rightarrow $$ $$ \rightarrow \left( \begin{array}{rrcc} 1 & 2 &3 &4 \\ 0 & 3 &10 & 13 \\ 0 & 0 & 11/3\,z_1 -10/3\,z_2+z_3 & 14/3\,z_1 - 13/3\,z_2+z_4 \end{array} \right) \ . $$ Ранг этой матрицы будет равен $ 2_{} $ тогда и только тогда, когда $$ \left\{ \begin{array}{rrrrl} 11/3z_1 &- 10/3z_2&+z_3& &=0, \\ 14/3z_1 & - 13/3z_2& &+z_4&=0. \end{array} \right. $$ Объединив эти условия с полученным выше, составим систему для определения координат направляющего вектора прямой: $$ \left\{ \begin{array}{rrrrl} 2\, z_1 &-2\, z_2& - z_3& +z_4& =0, \\ 11\,z_1 &-10\,z_2&+3\,z_3& &=0, \\ 14\,z_1 & -13\,z_2& &+3\,z_4&=0 \end{array} \right. \iff \ \left\{ \begin{array}{rrrrl} 2\, z_1 &-2\, z_2& - z_3& +z_4& =0, \\ z_1 &&+8\,z_3&-5\,z_4 &=0, \\ & z_2&+7\,z_3 &-4\,z_4&=0 \end{array} \right. $$ $$ \iff \ \left\{ \begin{array}{rrrrl} z_1 && +8\, z_3& -5\,z_4& =0, \\ &z_2 &+7\,z_3&-4\,z_4 &=0, \\ & &-3\,z_3 &+3\,z_4&=0 \end{array} \right. \Rightarrow \ \ \begin{array}{ccc|c} z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\ \hline -3 & -3 & 1 & 1 \end{array} $$
Ответ. $ \mathbb M=\left\{ [6-3\, \alpha,\ 5-3\, \alpha,\ 1+ \alpha,\ -1+ \alpha ]^{^{\top}} \ \bigg| \ \alpha \in \mathbb R \right\} $.