Если $ A_{} $ — $ m_{}\times n $-матрица, а $ B_{} $ — $ p \times q $-матрица, то кронекеровым (или прямым) произведением матрицы $ A_{} $ на матрицу $ B_{} $ называют блочную матрицу порядка $ mp \times nq $: $$ A \otimes B = \left( \begin{array}{ccc} a_{11}B & \dots & a_{1n} B \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1}B & \dots & a_{mn}B \end{array} \right) \ . $$

Используется при решении матричного уравнения Сильвестра $$ AX+XB=C $$ при произвольных квадратных матрицах $ A,B,C $ одинакового порядка; неизвестной является матрица $ X_{} $ того же порядка.

Пример. Решить матричное уравнение для матриц второго порядка: $$ A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \ , \ B=\left( \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right) \ , \ C=\left( \begin{array}{cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array} \right) \ . $$

Решение. Подставляя в уравнение матрицу $$ X=\left( \begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array} \right) \ , $$ с пока неопределенными элементами, получаем систему линейных уравнений, которую тоже запишем в матричном виде: $$ \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & b_{21} & 0 \\ a_{21} & a_{22}+b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & a_{11}+b_{22} & a_{12} \\ 0 & b_{12} & a_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{12} \\ x_{22} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} c_{11} \\ c_{21} \\ c_{12} \\ c_{22} \end{array} \right) $$ (матрицы $ X_{} $ и $ C_{} $ векторизовали, т.е. «вытянули» в столбцы). Матрица в левой части имеет порядок $ 4_{} $ и может быть представлена в виде суммы двух матриц: $$ \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & b_{21} & 0 \\ a_{21} & a_{22}+b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & a_{11}+b_{22} & a_{12} \\ 0 & b_{12} & a_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & a_{12} \\ 0 & 0 & a_{21} & a_{22} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & 0 & b_{21} & 0 \\ 0 & b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & b_{12} & 0 & b_{22} \end{array} \right) \ . $$ С помощью кронекерового произведения эту сумму можно представить в виде $$ E \otimes A + B^{\top} \otimes E $$ при $ E_{} $ — единичной матрице второго порядка и $ {}^{\top} $ означающем транспонирование. ♦

Теорема. Если $ A_{} $ — квадратная матрица порядка $ n_{} $ и $ \{ \lambda_1,\dots,\lambda_{n} \} $ обозначает ее спектр (набор собственных чисел с учетом их кратностей); $ B_{} $ — квадратная матрица порядка $ p_{} $ со спектром $ \{ \mu_1,\dots,\mu_p \} $, то матрица $ A \otimes B $ имеет следующий спектр:

$$ \{ \lambda_j \mu_k \Big| \ j\in \{ 1,\dots,n\}, k\in \{1,\dots,p \} \} \ . $$

Теорема [правило смешанного произведения]. Если определены (обычные) произведения матриц $ AC $ и $ BD $, то имеет место равенство:

$$ (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD \, . $$