Инструменты сайта


Матрица Франка

$$ F_n=\left( \begin{array}{cccccc} n & n-1 & n-2 & \dots & 2 & 1 \\ n-1 & n-1 & n-2 & \dots & 2 & 1 \\ 0 & n-2 & n-2 & \dots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & n-3 & \dots & 2 & 1\\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 1 \end{array} \right) $$

$$\det F_n=1 $$ Хар.полином $ p_n(\lambda):=\det (F_n- \lambda E) $ удовлетворяет тождеству $$ \lambda^n p_n(1/\lambda) \equiv (-1)^n p_n(\lambda) \, . $$ Таким образом, при $ n $ — четном, полином $ p_n $ является возвратным.

$$ \det(F_5-\lambda E)=(-1)^5 \left({\lambda}^{5}-15\,{\lambda}^{4}+55\,{\lambda}^{3}-55\,{\lambda}^{2}+15 \,\lambda-1 \right) $$

Все собственные числа различны, вещественны и положительны. $$ F_3 \Rightarrow \{1, 5/2\pm 1/2 \sqrt{21} \} $$

Источник

Frank W.L. Computing Eigenvalues of Complex Matrices by Determinant Evaluation and by Methods of Danilewski and Wielandt. J. Soc. Indust. Appl. Math. 6(4), 378–392, 1958. frank1958.pdf

algebra2/frank.txt · Последние изменения: 2022/07/28 11:06 — au