Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу МАТРИЦА


Задачи

1. Вычислить $$ 3 \left[ \left( \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -1 \end{array} \right) +E \right]^{-1} - \left[ \left( [j-k]_{j,k=1}^3 \right)^3 + [j+k \pmod{3} ]_{j,k=1}^3 \right]^{\top} \ . $$

2. Доказать, что для любой матрицы $ A \in \mathbb R^{2\times 2} $ справедливо равенство: $$ | \det(A) | \cdot \operatorname{Sp}(A\cdot A^{\top} +| \det(A) |\cdot E)= \det(A\cdot A^{\top} +| \det(A) |\cdot E) \ . $$

3. Доказать, что для того, чтобы равенство $ \operatorname{Sp} (A^{\top}A)= \operatorname{Sp} (A^2 ) $ выполнялось для матрицы $ A\in \mathbb R^{n\times n} $ необходимо и достаточно, чтобы она была симметричной: $ A=A^{\top} $.

4. Верно ли равенство $$ \operatorname{Sp} (ABC)=\operatorname{Sp} (BAC) \ ? $$ Здесь $ A,B,C $ — квадратные матрицы одинакового порядка.

5. Для квадратных матриц $ A $ и $ B $ одинаковых порядков, их коммутатором или скобкой Якоби называется матрица $$ [A,B]:=AB-BA \, . $$ Показать справедливость следующего равенства $$ [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=\mathbb O \, . $$

algebra2/problems.txt · Последние изменения: 2020/12/23 21:22 — au