Теорема [Кронекер]. Если матрица $ A_{} $ имеет некоторый минор порядка $ \mathfrak r $ отличным от нуля, а все окаймляющие этот минор миноры порядка $ \mathfrak r+1 $ равны нулю, то $ \operatorname{rank} (A) =\mathfrak{r} $.

Доказательство I . Докажем сначала, что если матрица $$ A=\left( \begin{array}{llcl} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots &&& \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{array} \right)_{m\times n} $$ имеет минор порядка $ \mathfrak{r}_{} $, отличный от нуля, для которого все окаймляющие его миноры порядка $ \mathfrak{r}+1 $ равны нулю, то ранг системы ее столбцов равен $ \mathfrak{r}_{} $, и ранг системы ее строк равен $ \mathfrak{r}_{} $. Предположим сначала, что $ \mathfrak r<\min \{m,n\} $. Для определенности также предположим, что отличен от нуля минор, стоящий в левом верхнем углу матрицы: $$\Delta = A\left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & \dots & \mathfrak{r} \\ 1 & 2 & \dots & \mathfrak{r} \end{array} \right)= \left| \begin{array}{llcl} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 \mathfrak{r}} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 \mathfrak{r}} \\ \dots &&& \dots \\ a_{\mathfrak{r} 1} & a_{\mathfrak{r} 2} & \dots & a_{\mathfrak{r} \mathfrak{r}} \end{array} \right| \ne 0 \ .$$ Тогда столбцы матрицы $ A_{[1]},\dots, A_{[\mathfrak r]} $ линейно независимы. Действительно, если предположить, что $$ \alpha_1 A_{[1]}+\dots+ \alpha_{\mathfrak r} A_{[\mathfrak r]}=\mathbb O_{m\times 1} $$ при каком-то $ \alpha_j \ne 0 $, то это же соотношение должно выполняться и для столбцов определителя $ \Delta $: $$ \alpha_1 \left(\begin{array}{l} a_{11} \\ \vdots \\ a_{\mathfrak r 1} \end{array} \right)+\dots+ \alpha_{\mathfrak r} \left(\begin{array}{l} a_{1 \mathfrak r} \\ \vdots \\ a_{\mathfrak r \mathfrak r } \end{array} \right)=\mathbb O_{\mathfrak r \times 1} \ \iff \ \left(\begin{array}{llcl} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 \mathfrak{r}} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 \mathfrak{r}} \\ \dots &&& \dots \\ a_{\mathfrak{r} 1} & a_{\mathfrak{r} 2} & \dots & a_{\mathfrak{r} \mathfrak{r}} \end{array} \right) \left(\begin{array}{l} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_{\mathfrak r} \end{array} \right) = \mathbb O \, . $$ Cистема линейных уравнений относительно $ \alpha_1, \dots, \alpha_{\mathfrak r} $ имеет ненулевой определитель. Следовательно, на основании теоремы Крамера, у нее существует единственное решение, задаваемое нулевым набором $$ \alpha_1 =0, \dots, \alpha_{\mathfrak r}=0 \, . $$ Это противоречит гипотезе $ \alpha_j \ne 0 $.

Пусть равны нулю все миноры порядка $ \mathfrak{r}+1 $, окаймляющие $ \Delta $. Покажем, что любой столбец $ A_{[q]} $ матрицы при $ q\in \{\mathfrak{r}+1, \dots, n \} $ линейно выражается через $ A_{[1]},\dots, A_{[\mathfrak r]} $. Иными словами, существует решение у системы уравнений. $$ \left\{ \begin{array}{crl} a_{11}x_1+\dots+a_{1\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}&=&a_{1q}, \\ \dots & & \dots \\ a_{\mathfrak{r}1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{\mathfrak{r}q}, \\ a_{\mathfrak{r}+1,1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}+1,\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{\mathfrak{r}+1,q}, \\ \dots & & \dots \\ a_{m1}x_1+\dots+a_{m\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{mq}. \end{array} \right. $$ Рассмотрим сначала подсистему этой системы, состоящую из первых $ \mathfrak r $ уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{crr} a_{11}x_1+\dots+a_{1\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}&=&a_{1q}, \\ \dots & & \dots \\ a_{\mathfrak{r}1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{\mathfrak{r}q} \, . \end{array} \right. $$ Эта подсистема совместна и имеет единственное решение поскольку определитель матрицы, состоящей из коэффициентов левых частей, по условию, отличен от нуля. Это решение выписывается с помощью формул Крамера в виде $$ x_1=\frac{\left| \begin{array}{llll} a_{1q}& a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak{r}} \\ a_{2q} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak{r}} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}q} & a_{2q} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} \end{array} \right|}{\Delta}, \ x_2=\frac{\left| \begin{array}{llll} a_{11}& a_{1q} & \dots & a_{1\mathfrak{r}} \\ a_{21} & a_{2q} & \dots & a_{2\mathfrak{r}} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}1} & a_{\mathfrak{r}q} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} \end{array} \right|}{\Delta},\dots, x_{\mathfrak{r}}= \frac{\left| \begin{array}{llll} a_{11}& a_{12} & \dots & a_{1q} \\ a_{21} & a_{22} & & a_{2q} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}1} & a_{\mathfrak{r}2} & \dots & a_{\mathfrak{r}q} \end{array} \right|}{\Delta}\ . $$ Докажем, что этот же набор удовлетворяет и оставшимся уравнениям исходной системы, т.е. $$ a_{s1}x_1+\dots+a_{s\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} =a_{sq} \ \quad npu \quad \forall s \in \{ \mathfrak r+1,\dots, m \} \ . $$ Подставляем выражения для $ x_1,\dots, x_{\mathfrak r} $ и домножаем на $ \Delta $: $$ a_{sq} \Delta-a_{s\mathfrak r} \left| \begin{array}{lllll} a_{11}& a_{12} & \dots & a_{1,\mathfrak{r}-1} & a_{1q} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,\mathfrak{r}-1} & a_{2q} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}1} & a_{\mathfrak{r}2} & \dots & a_{\mathfrak{r},\mathfrak{r}-1} & a_{\mathfrak{r}q} \end{array} \right|- a_{s,\mathfrak r-1} \left| \begin{array}{llll} a_{11}& \dots & a_{1q} & a_{1\mathfrak{r}} \\ a_{21} & \dots & a_{2q} & a_{2\mathfrak{r}} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}1} & \dots & a_{\mathfrak{r}q} & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} \end{array} \right|- $$ $$ - \dots- a_{s1}\left| \begin{array}{llll} a_{1q}& a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak{r}} \\ a_{2q} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak{r}} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}q} & a_{2q} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} \end{array} \right| \ . $$ Нужно доказать, что получившееся выражение равно $ 0_{} $. Переставив столбец $ [ a_{1q},a_{2q},\dots,a_{\mathfrak{r}q} ]^{\top} $ в конец каждого определителя (последовательными перестановками с соседними правыми столбцами, чтобы не менять порядок следования остальных столбцов), убеждаемся, что это выражение представляет собой разложение определителя $$ \left| \begin{array}{llll} a_{11}& \dots & a_{1\mathfrak{r}} & a_{1q} \\ a_{21}& \dots & a_{2\mathfrak{r}} & a_{2q} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\mathfrak{r}1} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} & a_{\mathfrak{r}q} \\ a_{s1} & \dots & a_{s\mathfrak{r}} & a_{sq} \end{array} \right| $$ по последней строке. Этот определитель равен $ 0_{} $ по предположению.

Поскольку предшествующие рассуждения были справедливы для любого значения $ s \in \{ \mathfrak r+1,\dots, m \} $, то утверждаем, что полученными значениями переменных $ x_1,\dots,x_{\mathfrak{r}} $ удовлетворяется любое уравнение системы $$ \left\{ \begin{array}{crl} a_{11}x_1+\dots+a_{1\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}&=&a_{1q}, \\ \dots & & \dots \\ a_{\mathfrak{r}1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{\mathfrak{r}q}, \\ a_{\mathfrak{r}+1,1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}+1,\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{\mathfrak{r}+1,q}, \\ \dots & & \dots \\ a_{m1}x_1+\dots+a_{m\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} &=&a_{mq}. \end{array} \right. $$ Но это означает, что $ q_{} $-й столбец матрицы $ A_{} $ является линейной комбинацией первых $ \mathfrak{r} $ столбцов этой матрицы. Поскольку это утверждение справедливо для любого значения $ q \in \{ \mathfrak r+1,\dots, n \} $, то заключаем (теорема $ 3 $ ☞ ЗДЕСЬ) , что ранг системы столбцов матрицы $ A_{} $ равен $ \mathfrak r_{} $ и для этой системы подсистема $ \{A_{[1]},\dots, A_{[\mathfrak r]} \} $ является базисной.

Докажем теперь, что любой минор матрицы $ A $ порядка $ \mathfrak r+1 $ равен нулю. Возьмем минор, стоящий в строках матрицы $ A $ с номерами $ \alpha_{1} < \dots < \alpha_{\mathfrak r} < \alpha_{\mathfrak r +1 } $ и в столбцах матрицы с номерами $ \beta_{1} < \dots < \beta_{\mathfrak r} < \beta_{\mathfrak r +1 } $: $$ \Delta^{\prime}=\left| \begin{array}{llll} a_{\alpha_1 \beta_1}& \dots & a_{\alpha_1 \beta_{\mathfrak r}} & a_{\alpha_1 \beta_{\mathfrak r+1}} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{\alpha_{\mathfrak r} \beta_1}& \dots & a_{\alpha_{\mathfrak r} \beta_{\mathfrak r}} & a_{\alpha_{\mathfrak r} \beta_{\mathfrak r+1}} \\ a_{\alpha_{\mathfrak r+1} \beta_1}& \dots & a_{\alpha_{\mathfrak r+1} \beta_{\mathfrak r}} & a_{\alpha_{\mathfrak r+1} \beta_{\mathfrak r+1}} \end{array} \right| \, . $$ Обозначим $ j $-й столбец матрицы $ A $, в котором оставлены только элементы из указанных строк, через $ A_{[j]}^{\prime} $: $$ A_{[j]}^{\prime} = \left(\begin{array}{l} a_{\alpha_1 j} \\ \vdots \\ a_{\alpha_{\mathfrak r} j} \\ a_{\alpha_{\mathfrak r+1} j} \end{array} \right) \, . $$ Тогда $$ \Delta^{\prime}=\det [ A_{[\beta_1]}^{\prime},\dots, A_{[\beta_{\mathfrak r+1}]}^{\prime} ] $$ и столбцы этого определителя линейно выражаются через $ \{A_{[1]}^{\prime},\dots, A_{[\mathfrak r]}^{\prime} \} $: $$ \begin{array}{lll} A_{[\beta_1]}^{\prime}&=& \alpha_{11} A_{[1]}^{\prime}+ \dots + \alpha_{1\mathfrak r} A_{[\mathfrak r]}^{\prime}, \\ \dots & & \dots, \\ A_{[\beta_{\mathfrak r+1}]}^{\prime}&=& \alpha_{\mathfrak r+1,1} A_{[1]}^{\prime}+ \dots + \alpha_{\mathfrak r+1,\mathfrak r} A_{[\mathfrak r]}^{\prime} . \end{array} $$ Имеем, $$ \Delta^{\prime}=\det \left( [ A_{[1]}^{\prime},\dots, A_{[{\mathfrak r}]}^{\prime} ] \cdot \left[ \begin{array}{llll} \alpha_{11} & \alpha_{21} & \dots & \alpha_{\mathfrak r+1,1} \\ \alpha_{12} & \alpha_{22} & \dots & \alpha_{\mathfrak r+1,2} \\ \vdots & & & \vdots \\ \alpha_{1\mathfrak r} & \alpha_{2\mathfrak r} & \dots & \alpha_{\mathfrak r+1,\mathfrak r} \end{array} \right] \right) = 0 $$ по теореме Бине-Коши.

Вывод аналогичного утверждения для строк матрицы проводится применением тех же рассуждений к матрице $ A_{}^{\top} $, где $ \top_{} $ означает транспонирование. Ненулевой минор остается на том же месте — в левом верхнем углу матрицы, поскольку его значение при транспонировании не меняется.

Доказательство теоремы для случая $ \mathfrak r=\min \{m,n\} $ проводится небольшой модификацией предыдущего: здесь достаточно рассмотреть либо только строки матрицы, либо ее столбцы.

Доказательство II (оригинальное Кронекера) проиллюстрируем на примере квадратной матрицы порядка $ n= 5 $. Пусть $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} \end{array} \right) \quad u \quad \Delta= \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| \ne 0 \, . $$ Составим определители $ 4 $-го порядка: $$ D_{jk}= \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2k} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3k} \\ a_{j1} & a_{j2} & a_{j3} & a_{jk} \\ \end{array} \right| \, . $$ Очевидно $ D_{jk}=0 $ если хотя бы одно из чисел $ j $ или $ k $ не превосходит $ 3 $; если же оба числа больше $ 3 $, то $ D_{jk} $ представляет минор матрицы $ A_{} $, окаймляющий $ \Delta $. Вычислим величины $$ c_{jk}=a_{jk}\Delta-D_{jk}=- \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2k} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3k} \\ a_{j1} & a_{j2} & a_{j3} & 0 \\ \end{array} \right| $$ разложением определителя по последней строке: $$ =-\sum_{\ell=1}^3 a_{j\ell} b_{\ell k} ; $$ здесь $ b_{\ell k} $ означает алгебраическое дополнение к элементу $ a_{j \ell} $ из последней строки. Так, к примеру, $$ c_{11}=-\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} & 0 \\ \end{array} \right| $$ и $$ b_{11}=- \left|\begin{array}{ccc} a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{22} & a_{23} & a_{21} \\ a_{32} & a_{33} & a_{31} \end{array} \right| = - \Delta,\ b_{21}= \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} & a_{11} \\ a_{21} & a_{23} & a_{21} \\ a_{31} & a_{33} & a_{31} \end{array} \right|=0,\ b_{31}=-\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{11} \\ a_{21} & a_{22} & a_{21} \\ a_{31} & a_{32} & a_{31} \end{array} \right|=0 \, . $$ Аналогично: $$ b_{12}=0,b_{22}=-\Delta,b_{32}=0 $$ и $$ b_{13}=0,b_{23}=0,b_{33}=-\Delta ; $$ но выражения для $ b_{\ell k} $ при $ k>3 $ будут уже нетривиальными: $$ b_{14}=- \left|\begin{array}{ccc} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right|, \dots , b_{35}=- \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{25} \\ a_{31} & a_{32} & a_{35} \end{array} \right| \, . $$ Очевидно $$ b_{\ell k} = \delta_{\ell k } \Delta \quad npu \quad k \le 3 ; $$ здесь $ \delta_{\ell k } $ — символ (всё того же) Кронекера.

Составим из элементов $ c_{jk} $ квадратную матрицу: $$ C= \left(\begin{array}{ccccc} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} & c_{35} \\ c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44} & c_{45} \\ c_{51} & c_{52} & c_{53} & c_{54} & c_{55} \end{array} \right) ; $$ формула $ c_{jk}=-\sum_{\ell=1}^3 a_{j\ell} b_{\ell k} $ равносильна представимости этой матрицы в виде произведения: $$ C=- \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 0 & 0 \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & 0 & 0 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ccccc} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} & b_{15} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} & b_{25} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} & b_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\, . $$ Из этого представления следует, что ранг матрицы $ C $ не превосходит $ 3 $ (см., к примеру, следствие к теореме 6 ☞ ЗДЕСЬ ). Следовательно, все миноры порядка $ 4 $ этой матрицы равны нулю.

Если теперь дополнительно предположить, что $ \Delta\ne 0 $, а все окаймляющие этот минор миноры $ D_{jk} $ четвертого порядка матрицы $ A $ равны нулю, то $ c_{jk}=a_{jk}\Delta $ и $ C= \Delta A $. По доказанному выше, все миноры четвертого порядка матрицы $ A $ равны нулю. ♦

Мне интересно было вывести аналитическую связь между окаймляющими минорами порядка $ \mathfrak r+1 $ и произвольными минорами того же порядка. Вот, что получилось.

Пусть, к примеру, $$ A=\left( \begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right), \operatorname{rank}(A)=2 \quad u \quad \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|\ne 0 \ . $$ Покажем, что при условии $$ A_4 = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| =0,\ A_3 = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{array} \right| =0 $$ будет иметь место $$ A_1 = \left| \begin{array}{lll} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right| =0,\ A_2 = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right|=0; $$ т.е. из того факта, что в нуль обращаются окаймляющие миноры будет автоматически следовать обращение в нуль всех миноров третьего порядка.

Составим вспомогательную квадратную матрицу $$ \widehat{A}= \left( \begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ и применим к ней теорему о сумме произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки. Выберем пары строк первая - четвертая, вторая - четвертая, получим: $$ \left\{\begin{array}{rc} a_{11}A_{1}-a_{12}A_{2}+a_{13}A_{3}-a_{14}A_{4}&=0, \\ -a_{21}A_{1}+a_{22}A_{2}-a_{23}A_{3}+a_{24}A_{4}&=0 . \end{array} \right. $$ По предположению, $ A_3=0, A_4=0 $, тогда получаем систему линейных однородных уравнений относительно $ A_1, A_2 $: $$ \left\{\begin{array}{rc} a_{11}A_{1}-a_{12}A_{2}&=0, \\ -a_{21}A_{1}+a_{22}A_{2}&=0. \end{array} \right. $$ Опять же, по предположению, $$ \left| \begin{array}{rr} a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{22} \end{array} \right|= \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|\ne 0. $$ Но тогда такая система имеет только тривиальное решение: $ A_1=0, A_2=0 $.

Пусть теперь $$ A=\left( \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \end{array} \right), \operatorname{rank}(A)=2 \quad u \quad \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|\ne 0 \ . $$ Выбирая подматрицы порядка $ 3\times 4 $, содержащие первый два столбца, мы придем к предыдущему случаю; как следствие, все миноры третьего порядка, содержащие хотя бы один из столбцов — первый или второй — матрицы, должны обращаться в нуль. Рассмотрим теперь матрицу $$ \widehat{B}= \left( \begin{array}{llll} a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ и применим к ней ту же самую теорему об алгебраических дополнениях, выбрав в ней пару строк первая - четвертая: $$ a_{12} \left| \begin{array}{lll} a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{33} & a_{34} & a_{35} \end{array} \right|-a_{13} \left| \begin{array}{lll} a_{12} & a_{14} & a_{15} \\ a_{22} & a_{24} & a_{25} \\ a_{32} & a_{34} & a_{35} \end{array} \right|+a_{14} \left| \begin{array}{lll} a_{12} & a_{13} & a_{15} \\ a_{22} & a_{23} & a_{25} \\ a_{32} & a_{33} & a_{35} \end{array} \right|- a_{12} \left| \begin{array}{lll} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right|=0. $$ Три последних минора равны нулю по доказанному выше, следовательно должен быть равен нулю или элемент $ a_{12} $ или минор $$ \left| \begin{array}{lll} a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{33} & a_{34} & a_{35} \end{array} \right| , $$ не содержащий вовсе элементов первых двух столбцов матрицы $ A $. Если этот минор все же отличен от нуля, то, применяя только что приведенные рассуждения к матрице $$ \widehat{\widehat{B}}= \left( \begin{array}{llll} a_{11} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) , $$ приходим к выводу, что $ a_{11}=0 $. Но в этом случае $$ \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=0, $$ что противоречит предположению.

[1]. Kronecker L. Bemerkungen zur Determinanten-Theorie. J. reine angew. Math. Bd. 72, 1870, S. 152-175