Основное
Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство факта, что для произвольного полинома $ p_{}(x) $, не равного тождественно нулю, выполнено: $$ \int_{c}^d p^2(t) d\,t > 0 \ , $$ т.е. для скалярного произведения, введенного формулой $$ \langle p(x),q(x) \rangle =\int_{c}^d p(t)q(t) d\,t \, , $$ выполняется аксиома 4.
Прежде всего заметим, что для любого полинома $ p_{}(x) $ будет выполнено $$ \int_{c}^d p^2(t) d\,t \ge 0 $$ (интегрирование неотрицательной функции). Предположим, что существует $ p(x)\not\equiv 0 $ такой, что $$ \int_{c}^d p^2(t) d\,t = 0 \, .$$ По основной теореме высшей алгебры, число корней полинома $ p(x) $, расположенных на $ [c,d] $, конечно, и, следовательно, можно подобрать такой интервал $ [c_1,d_1] \subset [c,d] $, на котором корней вовсе нет. На основании свойства аддитивности интеграла: $$ 0=\int_{c}^d p^2(t) d\,t =\int_{c}^{c_{_1}} p^2(t) d\,t +\int_{c_{_1}}^{d_{_1}} p^2(t) d\,t +\int_{d_{_1}}^{b} p^2(t) d\,t \ . $$ Из того, что каждое слагаемое неотрицательно следует, что все они должны обращаться в нуль. C другой стороны, по теореме о среднем значении имеем $$ 0=\int_{c_{_1}}^{d_{_1}} p^2(t) d\,t =p^2(\xi)(d_1-c_1) \ \mbox{при} \ \xi\in [c_1,d_1] \ . $$ Следовательно, $ p(\xi)=0 $, т.е. полином $ p(x) $ имеет корень на $ [c_1,d_1] $, что противоречит предположению.