Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство факта, что для произвольного полинома $ p_{}(x) $, не равного тождественно нулю, выполнено: $$ \int_{a}^b p^2(t) d\,t > 0 \ , $$ т.е. для скалярного произведения, введенного формулой $$ \langle p(x),q(x) \rangle =\int_{a}^b p(t)q(t) d\,t $$ выполняется аксиома 4.
Прежде всего заметим, что для любого полинома $ p_{}(x) $ будет выполнено $ \int_{a}^b p^2(t) d\,t \ge 0 $ (интегрирование неотрицательной функции). Предположим, что существует $ p(x)\not\equiv 0 $ такой, что $ \int_{a}^b p^2(t) d\,t = 0 $. По основной теореме высшей алгебры, число корней полинома $ p(x) $, расположенных на $ [a,b] $, конечно, и, следовательно, можно подобрать такой интервал $ [a_1,b_1] \subset [a,b] $, на котором корней вовсе нет. На основании свойства аддитивности интеграла: $$ 0=\int_{a}^b p^2(t) d\,t =\int_{a}^{a_1} p^2(t) d\,t +\int_{a_1}^{b_1} p^2(t) d\,t +\int_{b_1}^{b} p^2(t) d\,t \ . $$ Из того, что каждое слагаемое неотрицательно следует, что все они должны обращаться в нуль. C другой стороны, по теореме о среднем имеем $$ 0=\int_{a_1}^{b_1} p^2(t) d\,t =p^2(\xi)(b_1-a_1) \ , \ npu \ \xi\in [a_1,b_1] \ . $$ Следовательно, $ p(\xi)=0 $, т.е. полином $ p(x) $ имеет корень на $ [a_1,b_1] $, что противоречит предположению.