— это уравнение $ z^n-1=0 $, рассматриваемое относительно комплексной переменной $ z_{} $. Его корнями являются корни $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $: $$ \varepsilon_k = \cos \frac{2 \pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{2 \pi k}{n} \quad npu \quad k\in \{0,1,\dots,n-1\} \ . $$ При $ n\ge 2 $ полином $ z^n-1 $ приводим над множеством целых чисел.

Пример.

$$ \begin{array}{lcl} z^2-1 & \equiv & (z-1)(z+1) \ ; \\ z^3-1 & \equiv & (z-1)(z^2+z+1)\ ; \\ z^9-1 & \equiv & (z-1)(z^2+z+1)(z^6+z^3+1) \ ; \\ z^{17}-1 & \equiv & (z-1)(z^{16}+z^{15}+z^{14}+z^{13}+z^{12}+z^{11}+z^{10}+z^9+z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1) \ ; \\ z^{18}-1 & \equiv & (z-1)(z+1)(z^2+z+1)(z^2-z+1)(z^6+z^3+1)(z^6-z^3+1) \ ; \\ z^{25}-1 & \equiv & (z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)(z^{20}+z^{15}+z^{10}+z^5+1) \ . \end{array} $$ Нас интересуют сомножители этих разложений. Обратим внимание, что коэффициенты этих сомножителей находятся во множестве $ \{-1,\ 0,\ 1 \} $. Это наблюдение подтверждается для разложений полиномов $ z^{n}-1 $ при $ n \le 104 $. Однако полином $z^{105}-1 $ имеет неприводимый над $ \mathbb Z $ делитель $$ z^{48}+z^{47}+z^{46}-z^{43}-z^{42} {\color{Red}{-2 }}\, z^{41}-z^{40}-z^{39}+z^{36}+z^{35}+z^{34}+ $$ $$ +z^{33}+z^{32}+z^{31}-z^{28}-z^{26}-z^{24}-z^{22}-z^{20}+z^{17}+z^{16}+z^{15}+ $$ $$ +z^{14}+z^{13}+z^{12}-z^9-z^8 {\color{Red}{-2 }}\, z^7-z^6-z^5+z^2+z+1 \, . $$ ♦

Теорема. Для любого $ n\in \mathbb N $ существует полином $ X_n(z) $ с целыми коэффициентами, корнями которого являются все первообразные корни степени $ n_{} $ из $ 1_{} $ и только такие корни.

Доказательство. Любой корень $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $, не являющийся первообразным корнем $ n_{} $-й степени, должен быть корнем меньшей степени из $ 1_{} $, т.е. удовлетворять уравнению $ z^{d_1}-1=0 $, где число $ d_1\in \mathbb N $ является делителем числа $ n_{} $. Кроме того, при таком $ d_{1} $ любой корень $ z^{d_1}-1 $ будет корнем $ z^n-1 $. Но тогда второй полином должен делиться на первый: $$ f_{nd_1}(z)=\frac{z^n-1}{z^{d_1}-1} \ . $$ Поскольку коэффициенты делимого и делителя — целые, то коэффициенты $ f_{nd_1}(z) $ — рациональные. Более того, поскольку старшие коэффициенты делимого и делителя равны $ 1_{} $, то эти коэффициенты — целые (см. упражнение ☞ЗДЕСЬ ), т.е. $ f_{nd_1}(z) \in \mathbb Z[x] $ и старший коэффициент $ f_{nd_1}(z) $ тоже равен $ 1_{} $. Рассмотрим любой другой делитель $ d_{2} $ числа $ n_{} $. Либо среди корней $ z^{d_2}-1 $ нет корней, совпадающих с корнями $ f_{nd_1}(z) $, либо они есть. Но тогда все такие корни являются корнями наибольшего общего делителя полиномов $ f_{nd_1}(z) $ и $ z^{d_2}-1 $: $ \operatorname{HOD}(f_{nd_1}(z),z^{d_2}-1) $. Поскольку вычисление $ \operatorname{HOD} $ двух полиномов производится по алгоритму Евклида только с использованием элементарных алгебраических операций ($ +,-,\times,\div $) над коэффициентами полиномов, то указанный $ \operatorname{HOD} $ может быть построен во множестве $ \mathbb Q[z] $ полиномов с рациональными коэффициентами. На самом деле, этот $ \operatorname{HOD} $ можно найти и среди полиномов с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным $ 1_{} $. Но тогда и полином $$ f_{nd_1d_2}(z)=\frac{f_{nd_1}(z)}{\operatorname{HOD}(f_{nd_1}(z),z^{d_2}-1)} $$ — тоже полином с целыми коэффициентами. Продолжаем процесс в том же направлении. Поскольку число делителей $ n_{} $ — конечно, то за конечное число шагов мы придем к полиному, который не имеет корней среди уравнений вида $ z^d-1=1 $ при $ d< n $. Он и будет искомым полиномом $ X_n(z) $ и, по построению, его коэффициенты будут целыми. ♦

Пример. Найти $ X_6(z) $.

Решение. Если $ d_1=3 $, то $$ f_{63}(z)=\frac{z^6-1}{z^3-1} \equiv z^3+1 \ . $$ Если $ d_2=2 $, то $ \operatorname{HOD}(f_{63}(z),z^{2}-1) \equiv z+1 $ и $$ f_{632}(z)=\frac{z^3+1}{z+1} \equiv z^2-z+1 \ . $$ Имеется еще делитель $ d_3=1 $ числа $ 6_{} $, но легко проверить, что корень полинома $ z-1 $ был исключен на предыдущих этапах.

Ответ. $ X_6(z) = z^2-z+1 $.

Cтепень полинома $ X_n(z) $ равна значению функции Эйлера от числа $ n_{} $: $ \deg X_n(z) = \phi (n) $.

Теорема. Полином $ X_n(z) $ вычисляется по следующей формуле:

$$ X_n(z) \equiv \frac{\displaystyle \prod_{d_{_1}}(z^{d_{_1}}-1)}{\displaystyle \prod_{d_{_2}}(z^{d_{_2}}-1)} \ , $$ где произведение в числителе берется по всем таким делителям $ d_{1} $ числа $ n_{} $, что частное $ n/d_1 $ равно произведению четного числа различных простых чисел (сюда также относится случай $ d_1=n $ ), а произведение в знаменателе берется по всем таким делителям $ d_{2} $ числа $ n_{} $, что частное $ n/d_2 $ равно произведению нечетного числа различных простых чисел.

Пример.

$$ X_{60}(z)\equiv \frac{(z^{60}-1)(z^{10}-1)(z^6-1)(z^4-1)}{(z^{30}-1)(z^{20}-1)(z^{12}-1)(z^{2}-1)} \equiv $$ Деля множители, стоящие один над другим, получим: $$ \equiv \frac{(z^{30}+1)(z^2+1)}{(z^{10}+1)(z^{6}+1)} \equiv \frac{z^{20}-z^{10}+1}{z^4-z^2+1}\equiv z^{16}+z^{14}-z^{10}-z^8-z^6+z^2+1 \ . $$ ♦

Для простого числа $ p_{} $:

$$ X_p(z)\equiv \frac{z^p-1}{z-1}\equiv z^{p-1}+z^{p-2}+\dots+z+1 \ ; $$ для числа $ n=2\, p $ при простом $ p_{}>2 $: $$ X_{2p}(z)\equiv \frac{(z^{2p}-1)(z-1)}{(z^p-1)(z^2-1)} \equiv \frac{z^p+1}{z+1}\equiv z^{p-1}-z^{p-2}+z^{p-3}-\dots+ z^2-z+1 \ . $$

Пример. Таблица полиномов $ X_n(z) $

$$ \begin{array}{l|l} n & X_n(z) \\ \hline 4 & z^2+1 \\ 8 & z^4+1 \\ 9 & z^6+z^3+1 \\ 12 & z^4-z^2+1 \\ 15 & z^8-z^7+z^5-z^4+z^3-z+1 \\ 16 & z^8 +1 \\ 18 & z^6-z^3+1 \\ 20 & z^8-z^6+z^4-z^2+1 \\ \hline 57 & z^{36}-z^{35}+z^{33}-z^{32}+z^{30}-z^{29}+z^{27}-z^{26}+z^{24}-z^{23}+z^{21}-z^{20}+ \\ & +z^{18}-z^{16}+z^{15}-z^{13}+z^{12}-z^{10}+z^9-z^7+z^6-z^4+z^3-z+1 \\ \hline 60 & z^{16}+z^{14}-z^{10}-z^8-z^6+z^2+1 \end{array} $$

Теорема. Полином $ X_n(z) $ неприводим над множеством целых чисел.

Теорема. При $ n\ge 2 $ полином $ z^n-1 $ раскладывается в произведение

$$ z^n-1 \equiv \prod_{d} X_d(z) $$ где умножение производится по всем индексам $ d_{} $ , являющимися делителями числа $ n_{} $.

$ \displaystyle \sum_{d} \phi(d) = n $; здесь суммирование производится по всем индексам $ d_{} $, являющимся делителями числа $ n_{} $.

Пример. Для $ n=30 $ имеем:

$$ \phi(1)+\phi(2)+\phi(3)+\phi(5)+\phi(6)+\phi(10)+\phi(15)+\phi(30)=1+1+2+4+2+4+8+8=30 \ . $$

Чеботарев Н. Основы теории Галуа. Часть I. М.-Л.ОНТИ.1934