Вспомогательная страница к разделу ☞ ПОЛЯ ГАЛУА.

---

Теорема 1. Если

$$ x^{p^n} - x \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) \ ,$$ где $ f_{}(x) $ — произвольный неприводимый по простому модулю $ p_{} $ полином степени $ n_{} $, то

$$ \left[F(x)\right]^{p^n} - F(x) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) $$ при любом полиноме $ F_{}(x) $ степени $ <n $.

Доказательство теоремы основано на следующем результате.

Теорема [Шёнеманн]. Для произвольного полинома $ F(x)\in \mathbb Z[x] $ и простого числа $ p_{} $ выполняется

$$ \left[F(x)\right]^p \equiv F(x^p) \pmod{p} \ . $$

Доказательство. Пусть $ F(x)=A_0+A_1x+\dots+A_kx^k $, воспользуемся формулой бинома Ньютона для вычисления $ \left[F(x)\right]^p $: $$ \left[ A_0+A_1x+\dots+A_kx^k \right]^p \equiv $$ $$ \equiv A_0^p+ C_p^1 (A_1x+\dots+A_kx^k)A_0^{p-1}+\dots+ C_p^j (A_1x+\dots+A_kx^k)^jA_0^{p-j}+\dots+ (A_1x+\dots+A_kx^k)^{p} \ . $$ При $ p_{} $ простом, все биномиальные коэффициенты $ C_p^1,C_p^2,\dots,C_p^{p-1} $ делятся на $ p_{} $ (доказательство ☞ ЗДЕСЬ ). Получаем $$ \left[ A_0+A_1x+\dots+A_kx^k \right]^p \equiv A_0^p+(A_1x+\dots+A_kx^k)^{p} \pmod{p} \ . $$ Со вторым слагаемым из правой части сравнения поступаем аналогично. Индукция по степени полинома приведет к $$ \left[ A_0+A_1x+\dots+A_kx^k \right]^p \equiv A_0^p+A_1^px^p+\dots+A_k^p(x^p)^k \pmod{p} \ . $$ По теореме Ферма: $$ A_j^p \equiv A_j \quad npu \quad j\in\{0,1,\dots,k\} \ , $$ что и завершает доказательство теоремы. ♦

Доказательство теоремы 1. Из теоремы Шёнеманна следует цепочка: $$ \left[F(x)\right]^{p^2} \equiv F(x^{p^2}) \pmod{p},\dots, \left[F(x)\right]^{p^n} \equiv F(x^{p^n}) \pmod{p} \ . $$ Кроме того, следствием предположения теоремы является цепочка: $$ \left(x^{p^n}\right)^2 \equiv x^2 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)),\dots, \left(x^{p^n}\right)^{n-1} \equiv x^{n-1} \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) \ . $$ Из этих двух цепочек утверждение теоремы очевидно. ♦

Источник