VMath

Указатель — Разделы— Обозначения — Автор — О проекте

Вспомогательная страница к разделу ☞ МАТРИЦА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Пример. Матрица ДПФ восьмого порядка: $$ F=\left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(1+ \mathbf i) & \mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+ \mathbf i) & -1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1- \mathbf i) & - \mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(1- \mathbf i) \\ 1 & \mathbf i & -1 & -\mathbf i & 1 & \mathbf i & -1 & - \mathbf i \\ 1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+ \mathbf i) & -\mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(1+ \mathbf i) & -1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(1- \mathbf i) & \mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1- \mathbf i) \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1- \mathbf i) & \mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(1- \mathbf i) & -1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(1+ \mathbf i) & -\mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+ \mathbf i) \\ 1 & -\mathbf i & -1 & \mathbf i & 1 & -\mathbf i & -1 & \mathbf i \\ 1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(1- \mathbf i) & -\mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1- \mathbf i) & -1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+ \mathbf i) & \mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(1+ \mathbf i) \end{array} \right) \ . $$ Ее определитель: $$ \det F= 4096\, \mathbf i \ . $$ Ей обратная: $$ F^{-1}=\frac{1}{8} \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(1- \mathbf i) & -\mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1- \mathbf i) & -1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+ \mathbf i) & \mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(1+ \mathbf i) \\ 1 & -\mathbf i & -1 & \mathbf i & 1 & -\mathbf i & -1 & \mathbf i \\ 1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1- \mathbf i) & \mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(1- \mathbf i) & -1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(1+ \mathbf i) & -\mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+ \mathbf i) \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+ \mathbf i) & -\mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(1+ \mathbf i) & -1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(1- \mathbf i) & \mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1- \mathbf i) \\ 1 & \mathbf i & -1 & -\mathbf i & 1 & \mathbf i & -1 & - \mathbf i \\ 1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(1+ \mathbf i) & \mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+ \mathbf i) & -1 & \frac{\sqrt{2}}{2}(-1- \mathbf i) & - \mathbf i & \frac{\sqrt{2}}{2}(1- \mathbf i) \end{array} \right) \ . $$ Ее характеристический полином: $$ \det (F-\lambda E) \equiv (\lambda+2\sqrt{2}\mathbf i)(\lambda-2\sqrt{2}\mathbf i)^2(\lambda+2\sqrt{2})^2(\lambda-2\sqrt{2})^3 \ . $$