Рассмотрим гладкую кривую $ \mathbf K_{} $ на плоскости, в каждой ее точке $ A_{} $ проведем перпендикуляр и возьмем на этом перпендикуляре точки, находящиеся на некотором фиксированном расстоянии $ h_{} $ от точки $ A_{} $. Полученные точки формируют две кривые, каждую из которых назовем эквидистантой¹⁾ кривой $ \mathbf K_{} $ и будем обозначать $ \mathbf K_{+h}^{} $ и $ \mathbf K_{-h}^{} $. В литературе используется также название кривая, параллельная кривой²⁾ $ \mathbf K_{} $.

Доказать, что

(a) касательные к кривой $ \mathbf K_{} $ и ее эквидистанте (если обе существуют) в соответствующих точках параллельны;

(b) эквидистанта $ (\mathbf K_h)_{h_1} $ к эквидистанте $ \mathbf K_h $ кривой $ \mathbf K $ совпадает с эквидистантой $ \mathbf K_{h+h_1} $.

Теорема 1.[2] Если кривая $ \mathbf K_{} $ задана параметрически уравнениями

$$ x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ \mbox{при} \ t \in [a,b] , $$ то уравнения эквидистант: $$ x=\zeta \pm \frac{h \eta' }{\sqrt{(\zeta')^2+(\eta')^2}},\ y=\eta \mp \frac{h \zeta' }{\sqrt{(\zeta')^2+(\eta')^2}} \ npu \ t \in [a,b] . $$ Знаки должны быть согласоваными.

Очевидно, эквидистантами окружности также являются окружности. Но для других кривых второго порядка (параболы или эллипса) аналогичное утверждение уже неверно.

Пример. Найти эквидистанты эллипса $ x^2/4+y^{2}=1 $.

Решение. Имеем $$ x= 2\, \cos \, t,\ y= \sin \, t \ npu \ t \in [0,2\pi] , $$ следовательно уравнения эквидистант: $$ x=\left(2\pm \frac{h}{\sqrt{1+3\sin^2 t}} \right)\cos \, t,\quad y=\left(1\pm \frac{2\,h}{\sqrt{1+3\sin^2 t}} \right)\sin \, t \quad npu \ t \in [0,2\pi] . $$ На рисунке показана «внутренняя» эквидистанта эллипса для $ h_{}=3/4 $.

Этим рисунком хорошо иллюстрируется еще одно применение эквидистанты. Посмотрим на картинку как будто бы она является изображением не плоского, но пространственного объекта. Этот объект — тор, или, в просторечии, бублик (баранка). Если поворачивать плоскость бублика перед глазами, так, чтобы она из вертикальной становилась горизонтальной, то в одном из промежуточных положений мы увидим бублик именно так, как изображено на картинке — за исключением двух участков эквидистанты, именно, крайнего левого и правого «треугольничков» похожих на хвосты ласточки. В реальности они невидимы, так что в начертательной геометрии их иногда отображают пунктиром. В статье [4] очень наглядно описано это применение эквидистанты эллипса, а также приведен способ ее «механического» построения.

Параметрический способ представления эквидистанты эллипса не является единственно возможным, ее можно задать и алгебраическим уравнением. Но сначала приведем аналогичное представление для более простой кривой — параболы.

Теорема 2. Эквидистанты кривой $ y=f_{}(x) $, где $ f_{}(x) $ – полином с вещественными коэффициентами, задаются уравнением

$$ \Phi_h(x,y)=0 \ npu \ \Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{X}\left(\left[X-x \right]^2 + \left[f(X)-y \right]^2-h^2 \right) \ . $$ Здесь $ {\mathcal D} $ означает дискриминант полинома, рассматриваемого относительно переменной $ X_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

Пример. Найти уравнение эквидистант параболы $ y=x^{2} $.

Решение. После вычисления дискриминанта, отбросим общий множитель его коэффициентов и сгруппируем полученный полином по степеням $ h_{} $: $$ \begin{array}{rcl} \Phi_h(x,y)&=&{\mathcal D}_{X}\left(X^4+(1-2y)X^2-2\ xX+x^2+y^2-h^2\right)= \\ &=&(16 y^2+16 x^2-8 y+1)(y-x^2)^2 + \\ &+&\left[8(-4y^2-8yx^2-y+1-8 x^4)(y-x^2)- (4 x^2+1)^3 \right]h^2+ \\ &+&8(2y^2+4 y+6 x^2-1)h^4-16 h^6 \ . \end{array} $$ Уравнение $ \Phi_h(x,y)_{}=0 $ и дает искомые эквидистанты $ \mathbf K_{+h}^{} $ и $ \mathbf K_{-h}^{} $ для параболы $ y=x^{2} $. На рисунке показаны эквидистанты параболы для значения $ h_{}=1 $

Здесь так же, как и в предыдущем примере, у «внутренней» эквидистанты возникает «ласточкин хвост». К каждой точке этого хвоста можно найти точку параболы, расположенную на расстоянии, меньшем требуемого $ h_{}=1 $. Поэтому говорить об эквидистанте как о кривой, «расстояние от каждой точки которой до кривой $ \mathbf K_{} $ одно и то же» можно только имея в виду указанное обстоятельство: для получения «истинной эквидистанты» некоторые участки построенной кривой следует стирать. ♦

Результат теоремы $ 2 $ можно интерпретировать, воспользовавшись определением эквидистанты, как огибающей семейства окружностей радиуса $ h_{} $ с центрами на кривой $ \mathbf K_{} $. Если считать точки кривой источниками излучения света (или тепла, или сейсмической активности и т.п.) равной мощности, распространяющегося в изотропной среде, заполняющей плоскость, то эквидистанта образует фронт волны, т.е. множество точек, одновременно достигаемое светом (или волной цунами, или кромкой льда при замерзании лужи).

При этом каждая точка волнового фронта сама принимается за вторичный источник волны, и новый волновой фронт образуется как огибающая семейства этих вторичных окружностей радиусов $ \Delta h $. Cм. ☞ принцип Гюйгенса-Френеля).

Анимация процесса распространения волны от параболы ☞ ЗДЕСЬ (750 K, gif).

Теорема 3. Эквидистанты эллипса

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ задаются уравнением $ \Phi_h(x,y)=0 $ при $$ \Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{\mu}\Bigg( \mu^3-\left\{a^2+b^2-x^2-y^2+h^2 \right\}\mu^2 + $$ $$ +\left\{-a^2b^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} -1 \right)+h^2(a^2+b^2) \right\}\mu - h^2a^2b^2 \Bigg) \ . $$ Здесь $ {\mathcal D}_{\mu} $ означает дискриминант полинома, рассматриваемого относительно переменной $ \mu_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

Эта теорема является следствием общего результата, касающегося вычисления расстояния от точки до квадрики в $ {\mathbb R}^{n} $. Покажем ее применение для примера, приведенного выше.

Пример. Найти эквидистанты эллипса $ x^{2}/4+y^2=1 $.

Решение. Имеем $$ \Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{\mu}(\mu^3-(5-x^2-y^2+h^2)\mu^2+(-x^2-4\,y^2+4+5\,h^2)\mu-4\,h^2)= $$ $$ =9\,h^8-6(2\,x^2+7\,y^2+15)\,h^6+(-2\,x^4+73\,y^4+62\,x^2y^2-90\,x^2+270\,y^2+297)\,h^4+ $$ $$ + (-56\,y^6-360\,y^2-62\,x^4-248\,y^4+4\,x^6+270\,x^2-90\,x^2y^4-30\,x^4y^2+140\,x^2y^2-360)\,h^2+ $$ $$ +4(x^4+2\,x^2y^2+y^4-6\,x^2+6\,y^2+9)(x^2/4+y^2-1)^2 \ . $$ Проверка. Я проверял эквивалентность этого представления параметрическому, полученному выше. Вычисления довольно громоздки: из параметрических уравнений возведением их в квадрат добился возможности подстановки $ u=\sin^{2} t $; получились два уравнения, полиномиальные по $ x,y_{} $ но с радикалами (квадратными корнями) относительно $ u_{} $; еще пара возведений в степень — и получились рациональные уравнения относительно $ x,y,u_{} $; вычислил результант числителей этих дробей, рассматривая их как полиномы относительно $ u_{} $, — результатом действительно оказался полином $ \Phi_h(x,y)_{} $ с некоторым посторонним (полиномиальным же) множителем.

Представление эквидистанты посредством алгебраического уравнения позволяет произвести анализ качественного поведения этой кривой в зависимости от изменения параметров, например, величины расстояния $ h_{} $. Например: при каких значениях $ h_{} $ возникают «ласточкины хвосты» у эквидистанты? Для ответа достаточно проанализировать точки пересечения эквидистанты с осью абсцисс. Подставив $ y=0_{} $ в уравнение $ \Phi_{h}(x,y)= 0 $ получим: $$ ((x-2)^2-h^2)((x+2)^2-h^2)(x^2+3\,h^2-3)^2=0 \ . $$ При возрастании $ h_{} $ от $ 0_{} $ корни этого полинома $$ \lambda_1=\pm(2-h) \quad u \quad \lambda_2=\pm \sqrt{3-3h^2} $$ будут сближаться до тех пор, пока не совпадут при значении $ h_{} = 1/2 $. Геометрически: при малой величине $ h_{} $ эквидистанта будет гладкой кривой похожей на эллипс, ее породивший:

При $ h_{}=1/2 $ произойдет возникновение угловых точек $ x_{}=\pm 3/2, y=0 $:

и при дальнейшем возрастании $ h_{} $ у эквидистанты появляются «хвосты»:

которые, все увеличиваясь в размерах:

фактически «съедают» истинную внутреннюю эквидистанту эллипса при значении $ h_{}=1 $:

Дальнейшее возрастание $ h_{} $ приводит к кривой

♦

Анимация процесса ☞ ЗДЕСЬ (1300 Kb, gif).

Теорема 4.[2]. Пусть кривая $ \mathbf K_{} $ задана параметрически уравнениями

$$ x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ \mbox{при} \ t \in [a,b] , $$ и $ L(\mathbf K) $ - длина этой кривой, а $ L(\mathbf K_{\pm h})^{} $ - длина соответствующей эквидистанты. Обозначим $ \gamma_{} $ угол (в радианах), образованный нормалями к кривой $ \mathbf K_{} $ в точках, соответствующих $ t=a_{} $ и $ t=b_{} $. Тогда имеет место соотношение: $$ L(\mathbf K_{\pm h}) =L(\mathbf K) \pm h \gamma \ . $$

[5] Доказать, что если кривые, заданные уравнениями $ \Phi_{}(x,y)=C $ при постоянных $ C \in \mathbb R_{} $, являются эквидистантными, то

$$ \left(\frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 + \left(\frac{\partial \Phi}{\partial y} \right)^2 \equiv F(\Phi) \ , $$ где $ F_{} $ — некоторая функция.

Рассмотрим снова гладкую плоскую кривую $ \mathbf K_{} $, которую, в отличие от предыдущего пункта, будем считать не источником излучения, а зеркалом. Рассмотрим на этой же плоскости точку $ \mathbf A_{} $ с координатами $ (x_0,y_0) $, не лежащую на этой кривой. Если бы $ \mathbf K_{} $ была прямой линией, то зеркальным отражением точки $ \mathbf A_{} $ относительно $ \mathbf K_{} $ была бы единственная точка (см. ☞ ОПЕРАТОР ОТРАЖЕНИЯ). Кривой зеркального отражения (изображения) точки $ \mathbf A_{} $ относительно $ \mathbf K_{} $ назовем геометрическое место точек плоскости, являющихся зеркальными отражениями точки $ \mathbf A_{} $, относительно касательных к точкам кривой $ \mathbf K_{} $.

Теорема. Если кривая $ \mathbf K_{} $ задана параметрически уравнениями

$$ x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] , $$ то уравнения кривой зеркального отражения относительно $ \mathbf K_{} $ : $$ x=\frac{[(\zeta')^2-(\eta')^2]x_0+2\,\zeta'\eta'y_0-2\,\eta'[\eta \zeta'-\eta' \zeta] }{(\zeta')^2+(\eta')^2},\ $$ $$ y=\frac{-[(\zeta')^2-(\eta')^2]y_0+2\,\zeta'\eta'x_0+2\,\zeta'[\eta \zeta'-\eta' \zeta]}{(\zeta')^2+(\eta')^2} $$ при $ t_{} \in [a,b] $.

Теорема. Если кривая $ \mathbf K_{} $ задана уравнением $ y=f_{}(x) $ где $ f_{}(x) $ – полином с вещественными коэффициентами, $ \deg f>1 $, то кривая зеркального отражения определяется уравнением $ \Phi_{}(x,y)=0 $, где

$$ \Phi(x,y)= {\mathcal D}_{X}\left(2\,X(x-x_0)+2\,f(X)(y-y_0) -(x^2-x_0^2)-(y^2-y_0^2) \right) \ . $$ Здесь $ {\mathcal D}_{} $ означает дискриминант полинома, рассматриваемого относительно переменной $ X_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

Пример. Найти кривые зеркального отражения относительно параболы $ y=x^{2} $.

Решение. Уравнение кривой зеркального отражения точки $ (x_0,y_{0}) $ в неявном виде: $$ 8(y-y_0)(x^2+y^2-x_0^2-y_0^2)+4(x-x_0)^2= 0 $$ или в параметрическом: $$ x=\frac{(1-4\,t^2)x_0+4\,ty_0+4\,t^3}{1+4\,t^2}, \ y=\frac{-(1-4\,t^2)y_0+4\,tx_0-2\,t^2}{1+4\,t^2} \ . $$ Вид кривых для случая $ x_{0}=0,y_0=1 $ и $ x_{0}=0,y_0=-1 $:

и для случая $ x_{0}=1,y_0=2 $ и $ x_{0}=2,y_0=1 $:

Пример. Кривая, состоящая из точек равноудаленных от эллипса $ x^{2}/4+y^2 =1 $ и точки $ x=1/2,y_{}=1/2 $:

задается алгебраическим уравнением: $$ -3840\,x^6+512\,x^5y-2688\,x^4y^2+256\,x^3y^3-624\,x^2y^4+32\,xy^5-48\,y^6+7552\,x^5+6784\,x^4y- $$ $$ -544\,x^3y^2+416\,x^2y^3-80\,xy^4-272\,y^5+1168\,x^4-9792\,x^3y+7280\,x^2y^2+288\,xy^3-1340\,y^4- $$ $$ -7200\,x^3-4896\,x^2y-216\,xy^2-2520\,y^3-120\,x^2+5616\,xy-4164\,y^2+2016\,x+2016\,y+441=0 $$ или в параметрической форме: $$ x=(2+\tau)\cos t,\ y=(1+2\,\tau)\sin t \quad npu \quad \tau= \frac{(2\cos(t)-1/2)^2+(\sin(t)-1/2)^2}{\cos(t)+2\,\sin(t)-2} \quad u \quad t\in [0,\,2\pi] \ . $$ «Истинно равноудаленная» кривая выделена красным.

[1]. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. с.539

[2]. Дингельдэй Фр. Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. С.-Петербург. 1912. Типография Суворина

[3]. Дингельдей Ф. Сборник упражнений и практических задач по интегральному исчислению. М.-Л.ГТТИ. 1933

[4]. Семиков С. Бублик - тоже человек! «Инженер» N 8, 2005.

[5]. Бертранъ Ж. Дифференцiальное исчисленiе. СПб. Изд-во «Наука и жизнь», 1911