Рассмотрим гладкую кривую $ \mathbf K_{} $ на плоскости, в каждой ее точке $ A_{} $ проведем перпендикуляр и возьмем на этом перпендикуляре точки, находящиеся на некотором фиксированном расстоянии $ h_{} $ от точки $ A_{} $. Полученные точки формируют две кривые, каждую из которых назовем эквидистантой¹⁾ кривой $ \mathbf K_{} $ и будем обозначать $ \mathbf K_{+h}^{} $ и $ \mathbf K_{-h}^{} $. В литературе используется также название кривая, параллельная кривой²⁾ $ \mathbf K_{} $.

Доказать, что касательные к кривой $ \mathbf K_{} $ и ее эквидистанте в соответствующих точках параллельны.

Теорема 1.[2] Если кривая $ \mathbf K_{} $ задана параметрически уравнениями

$$ x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] , $$ то уравнения эквидистант: $$ x=\zeta \pm \frac{h \eta' }{\sqrt{(\zeta')^2+(\eta')^2}},\ y=\eta \mp \frac{h \zeta' }{\sqrt{(\zeta')^2+(\eta')^2}} \ npu \ t \in [a,b] . $$ Знаки должны быть согласоваными.

Очевидно, эквидистантами окружности также являются окружности. Но для других кривых второго порядка (параболы или эллипса) аналогичное утверждение уже неверно.

Пример. Найти эквидистанты эллипса $ x^2/4+y^{2}=1 $.

Решение. Имеем $$ x= 2\, \cos \, t,\ y= \sin \, t \ npu \ t \in [0,2\pi] , $$ следовательно уравнения эквидистант: $$ x=\left(2\pm \frac{h}{\sqrt{1+3\sin^2 t}} \right)\cos \, t,\quad y=\left(1\pm \frac{2\,h}{\sqrt{1+3\sin^2 t}} \right)\sin \, t \quad npu \ t \in [0,2\pi] . $$ На рисунке показана «внутренняя» эквидистанта эллипса для $ h_{}=3/4 $.

Этим рисунком хорошо иллюстрируется еще одно применение эквидистанты. Посмотрим на картинку как будто бы она является изображением не плоского, но пространственного объекта. Этот объект — тор, или, в просторечии, бублик (баранка). Если поворачивать плоскость бублика перед глазами, так, чтобы она из вертикальной становилась горизонтальной, то в одном из промежуточных положений мы увидим бублик именно так, как изображено на картинке — за исключением двух участков эквидистанты, именно, крайнего левого и правого «треугольничков» похожих на хвосты ласточки. В реальности они невидимы, так что в начертательной геометрии их иногда отображают пунктиром. В статье [4] очень наглядно описано это применение эквидистанты эллипса, а также приведен способ ее «механического» построения.

Параметрический способ представления эквидистанты эллипса не является единственно возможным, ее можно задать и алгебраическим уравнением. Но сначала приведем аналогичное представление для более простой кривой — параболы.

Теорема 2. Эквидистанты кривой $ y=f_{}(x) $, где $ f_{}(x) $ – полином с вещественными коэффициентами, задаются уравнением

$$ \Phi_h(x,y)=0 \ npu \ \Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{X}\left(\left[X-x \right]^2 + \left[f(X)-y \right]^2-h^2 \right) \ . $$ Здесь $ {\mathcal D} $ означает дискриминант полинома, рассматриваемого относительно переменной $ X_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

Пример. Найти уравнение эквидистант параболы $ y=x^{2} $.

Решение. После вычисления дискриминанта, отбросим общий множитель его коэффициентов и сгруппируем полученный полином по степеням $ h_{} $: $$ \begin{array}{rcl} \Phi_h(x,y)&=&{\mathcal D}_{X}\left(X^4+(1-2y)X^2-2\ xX+x^2+y^2-h^2\right)= \\ &=&(16 y^2+16 x^2-8 y+1)(y-x^2)^2 + \\ &+&\left[8(-4y^2-8yx^2-y+1-8 x^4)(y-x^2)- (4 x^2+1)^3 \right]h^2+ \\ &+&8(2y^2+4 y+6 x^2-1)h^4-16 h^6 \ . \end{array} $$ Уравнение $ \Phi_h(x,y)_{}=0 $ и дает искомые эквидистанты $ \mathbf K_{+h}^{} $ и $ \mathbf K_{-h}^{} $ для параболы $ y=x^{2} $. На рисунке показаны эквидистанты параболы для значения $ h_{}=1 $

Здесь так же, как и в предыдущем примере, у «внутренней» эквидистанты возникает «ласточкин хвост». К каждой точке этого хвоста можно найти точку параболы, расположенную на расстоянии, меньшем требуемого $ h_{}=1 $. Поэтому говорить об эквидистанте как о кривой, «расстояние от каждой точки которой до кривой $ \mathbf K_{} $ одно и то же» можно только имея в виду указанное обстоятельство: для получения «истинной эквидистанты» некоторые участки построенной кривой следует стирать. ♦

Результат теоремы $ 2 $ можно интерпретировать, воспользовавшись определением эквидистанты, как огибающей семейства окружностей радиуса $ h_{} $ с центрами на кривой $ \mathbf K_{} $. Если считать точки кривой источниками излучения равной мощности, распространяющегося в изотропной среде, заполняющей плоскость, то эквидистанта образует фронт волны (см. ☞ принцип Гюйгенса-Френеля).

Анимация процесса распространения волны от параболы ☞ ЗДЕСЬ (750 K, gif).

Теорема 3. Эквидистанты эллипса

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ задаются уравнением $ \Phi_h(x,y)=0 $ при $$ \Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{\mu}\Bigg( \mu^3-\left\{a^2+b^2-x^2-y^2+h^2 \right\}\mu^2 + $$ $$ +\left\{-a^2b^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} -1 \right)+h^2(a^2+b^2) \right\}\mu - h^2a^2b^2 \Bigg) \ . $$ Здесь $ {\mathcal D}_{\mu} $ означает дискриминант полинома, рассматриваемого относительно переменной $ \mu_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

Эта теорема является следствием общего результата, касающегося вычисления расстояния от точки до квадрики в $ {\mathbb R}^{n} $. Покажем ее применение для примера, приведенного выше.

Пример. Найти эквидистанты эллипса $ x^{2}/4+y^2=1 $.

Решение. Имеем $$ \Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{\mu}(\mu^3-(5-x^2-y^2+h^2)\mu^2+(-x^2-4\,y^2+4+5\,h^2)\mu-4\,h^2)= $$ $$ =9\,h^8-6(2\,x^2+7\,y^2+15)\,h^6+(-2\,x^4+73\,y^4+62\,x^2y^2-90\,x^2+270\,y^2+297)\,h^4+ $$ $$ + (-56\,y^6-360\,y^2-62\,x^4-248\,y^4+4\,x^6+270\,x^2-90\,x^2y^4-30\,x^4y^2+140\,x^2y^2-360)\,h^2+ $$ $$ +4(x^4+2\,x^2y^2+y^4-6\,x^2+6\,y^2+9)(x^2/4+y^2-1)^2 \ . $$ Проверка. Я проверял эквивалентность этого представления параметрическому, полученному выше. Вычисления довольно громоздки: из параметрических уравнений возведением их в квадрат добился возможности подстановки $ u=\sin^{2} t $; получились два уравнения, полиномиальные по $ x,y_{} $ но с радикалами (квадратными корнями) относительно $ u_{} $; еще пара возведений в степень — и получились рациональные уравнения относительно $ x,y,u_{} $; вычислил результант числителей этих дробей, рассматривая их как полиномы относительно $ u_{} $, — результатом действительно оказался полином $ \Phi_h(x,y)_{} $ с некоторым посторонним (полиномиальным же) множителем.

Представление эквидистанты посредством алгебраического уравнения позволяет произвести анализ качественного поведения этой кривой в зависимости от изменения параметров, например, величины расстояния $ h_{} $. Например: при каких значениях $ h_{} $ возникают «ласточкины хвосты» у эквидистанты? Для ответа достаточно проанализировать точки пересечения эквидистанты с осью абсцисс. Подставив $ y=0_{} $ в уравнение $ \Phi_{h}(x,y)= 0 $ получим: $$ ((x-2)^2-h^2)((x+2)^2-h^2)(x^2+3\,h^2-3)^2=0 \ . $$ При возрастании $ h_{} $ от $ 0_{} $ корни этого полинома $$ \lambda_1=\pm(2-h) \quad u \quad \lambda_2=\pm \sqrt{3-3h^2} $$ будут сближаться до тех пор, пока не совпадут при значении $ h_{} = 1/2 $. Геометрически: при малой величине $ h_{} $ эквидистанта будет гладкой кривой похожей на эллипс, ее породивший:

При $ h_{}=1/2 $ произойдет возникновение угловых точек $ x_{}=\pm 3/2, y=0 $:

и при дальнейшем возрастании $ h_{} $ у эквидистанты появляются «хвосты»:

которые, все увеличиваясь в размерах:

фактически «съедают» истинную внутреннюю эквидистанту эллипса при значении $ h_{}=1 $:

Дальнейшее возрастание $ h_{} $ приводит к кривой

♦

Анимация процесса ☞ ЗДЕСЬ (1300 Kb, gif).

Теорема 4.[2]. Пусть кривая $ \mathbf K_{} $ задана параметрически уравнениями

$$ x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] , $$ и $ L(\mathbf K) $ - длина этой кривой, а $ L(\mathbf K_{\pm h})^{} $ - длина соответствующей эквидистанты. Обозначим $ \gamma_{} $ угол (в радианах), образованный нормалями к кривой $ \mathbf K_{} $ в точках, соответствующих $ t=a_{} $ и $ t=b_{} $. Тогда имеет место соотношение: $$ L(\mathbf K_{\pm h}) =L(\mathbf K) \pm h \gamma \ . $$

[5] Доказать, что если кривые, заданные уравнениями $ \Phi_{}(x,y)=C $ при постоянных $ C \in \mathbb R_{} $, являются эквидистантными, то

$$ \left(\frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 + \left(\frac{\partial \Phi}{\partial y} \right)^2 \equiv F(\Phi) \ , $$ где $ F_{} $ — некоторая функция.

Рассмотрим снова гладкую плоскую кривую $ \mathbf K_{} $, которую, в отличие от предыдущего пункта, будем считать не источником излучения, а зеркалом. Рассмотрим на этой же плоскости точку $ \mathbf A_{} $ с координатами $ (x_0,y_0) $, не лежащую на этой кривой. Если бы $ \mathbf K_{} $ была прямой линией, то зеркальным отражением точки $ \mathbf A_{} $ относительно $ \mathbf K_{} $ была бы единственная точка (см. ☞ ОПЕРАТОР ОТРАЖЕНИЯ). Кривой зеркального отражения (изображения) точки $ \mathbf A_{} $ относительно $ \mathbf K_{} $ назовем геометрическое место точек плоскости, являющихся зеркальными отражениями точки $ \mathbf A_{} $, относительно касательных к точкам кривой $ \mathbf K_{} $.

Теорема. Если кривая $ \mathbf K_{} $ задана параметрически уравнениями

$$ x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] , $$ то уравнения кривой зеркального отражения относительно $ \mathbf K_{} $ : $$ x=\frac{[(\zeta')^2-(\eta')^2]x_0+2\,\zeta'\eta'y_0-2\,\eta'[\eta \zeta'-\eta' \zeta] }{(\zeta')^2+(\eta')^2},\ $$ $$ y=\frac{-[(\zeta')^2-(\eta')^2]y_0+2\,\zeta'\eta'x_0+2\,\zeta'[\eta \zeta'-\eta' \zeta]}{(\zeta')^2+(\eta')^2} $$ при $ t_{} \in [a,b] $.

Теорема. Если кривая $ \mathbf K_{} $ задана уравнением $ y=f_{}(x) $ где $ f_{}(x) $ – полином с вещественными коэффициентами, $ \deg f>1 $, то кривая зеркального отражения определяется уравнением $ \Phi_{}(x,y)=0 $, где

$$ \Phi(x,y)= {\mathcal D}_{X}\left(2\,X(x-x_0)+2\,f(X)(y-y_0) -(x^2-x_0^2)-(y^2-y_0^2) \right) \ . $$ Здесь $ {\mathcal D}_{} $ означает дискриминант полинома, рассматриваемого относительно переменной $ X_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

Пример. Найти кривые зеркального отражения относительно параболы $ y=x^{2} $.

Решение. Уравнение кривой зеркального отражения точки $ (x_0,y_{0}) $ в неявном виде: $$ 8(y-y_0)(x^2+y^2-x_0^2-y_0^2)+4(x-x_0)^2= 0 $$ или в параметрическом: $$ x=\frac{(1-4\,t^2)x_0+4\,ty_0+4\,t^3}{1+4\,t^2}, \ y=\frac{-(1-4\,t^2)y_0+4\,tx_0-2\,t^2}{1+4\,t^2} \ . $$ Вид кривых для случая $ x_{0}=0,y_0=1 $ и $ x_{0}=0,y_0=-1 $:

и для случая $ x_{0}=1,y_0=2 $ и $ x_{0}=2,y_0=1 $:

Пример. Кривая, состоящая из точек равноудаленных от эллипса $ x^{2}/4+y^2 =1 $ и точки $ x=1/2,y_{}=1/2 $:

задается алгебраическим уравнением: $$ -3840\,x^6+512\,x^5y-2688\,x^4y^2+256\,x^3y^3-624\,x^2y^4+32\,xy^5-48\,y^6+7552\,x^5+6784\,x^4y- $$ $$ -544\,x^3y^2+416\,x^2y^3-80\,xy^4-272\,y^5+1168\,x^4-9792\,x^3y+7280\,x^2y^2+288\,xy^3-1340\,y^4- $$ $$ -7200\,x^3-4896\,x^2y-216\,xy^2-2520\,y^3-120\,x^2+5616\,xy-4164\,y^2+2016\,x+2016\,y+441=0 $$ или в параметрической форме: $$ x=(2+\tau)\cos t,\ y=(1+2\,\tau)\sin t \quad npu \quad \tau= \frac{(2\cos(t)-1/2)^2+(\sin(t)-1/2)^2}{\cos(t)+2\,\sin(t)-2} \quad u \quad t\in [0,\,2\pi] \ . $$ «Истинно равноудаленная» кривая выделена красным.

[1]. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. с.539

[2]. Дингельдэй Фр. Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. С.-Петербург. 1912. Типография Суворина

[3]. Дингельдей Ф. Сборник упражнений и практических задач по интегральному исчислению. М.-Л.ГТТИ. 1933

[4]. Семиков С. Бублик - тоже человек! «Инженер» N 8, 2005.

[5]. Бертранъ Ж. Дифференцiальное исчисленiе. СПб. Изд-во «Наука и жизнь», 1911