Основное
Вспомогательная страница к разделу МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА
Теорема. Пусть $ X_m^{^{\bot}} $ означает ортогональную составляющую вектора $ X_m $ относительно $ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m-1}) $. Тогда
$$ \mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1},X_m)=\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1})\left|X_m^{^{\bot}} \right|^2 \ . $$
Доказательство. Обозначим $ X_m^{^{\parallel}} $ ортогональную проекцию вектора $ X_m $ на $ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m-1}) $; таким образом: $ X_m=X_m^{^{\parallel}}+X_m^{^{\bot}} $. Поскольку $ X_m^{^{\bot}} \bot {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m-1} ) $, то имеем: $$\langle X_j,X_m \rangle=\langle X_j,X_m^{^{\parallel}}+X_m^{^{\bot}}\rangle =\langle X_j,X_m^{^{\parallel}} \rangle+\langle X_j, X_m^{^{\bot}}\rangle= \langle X_j,X_m^{^{\parallel}} \rangle $$ при $ j\in \{1,\dots , m-1\} $, а $$ \begin{array}{rcl} \langle X_m,X_m \rangle &=& \langle X_m^{^{\parallel}}+X_m^{^{\bot}},X_m^{^{\parallel}}+X_m^{^{\bot}} \rangle = \\ &= & \langle X_m^{^{\parallel}},X_m^{^{\parallel}} \rangle +2\, \langle X_m^{^{\parallel}},X_m^{^{\bot}} \rangle + \langle X_m^{^{\bot}},X_m^{^{\bot}} \rangle = \\ &=& \langle X_m^{^{\parallel}},X_m^{^{\parallel}} \rangle + \langle X_m^{^{\bot}},X_m^{^{\bot}} \rangle . \end{array} $$ С помощью этих равенств преобразуем грамиан $ \mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1},X_m)= $ $$ \begin{array}{lcl} &=& \left| \begin{array}{rrrr} \langle X_1,X_1 \rangle & \dots & \langle X_1,X_{m-1} \rangle & \langle X_1,X_m \rangle \\ \dots & & \dots & \dots \\ \langle X_{m-1},X_1 \rangle & \dots & \langle X_{m-1},X_{m-1} \rangle & \langle X_{m-1},X_m \rangle \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \dots & \langle X_{m},X_{m-1} \rangle & \langle X_m,X_m \rangle \end{array} \right|= \\ & & \\ & & \\ &=&\left| \begin{array}{rrrl} \langle X_1,X_1 \rangle & \dots & \langle X_1,X_{m-1} \rangle & \langle X_1,X_m^{^{\parallel}} \rangle \\ \dots & & \dots & \dots \\ \langle X_{m-1},X_1 \rangle & \dots & \langle X_{m-1},X_{m-1} \rangle & \langle X_{m-1},X_m^{^{\parallel}} \rangle \\ \langle X_m^{^{\parallel}},X_1 \rangle & \dots & \langle X_m^{^{\parallel}},X_{m-1} \rangle & \langle X_m^{^{\parallel}},X_m^{^{\parallel}} \rangle+ \langle X_m^{^{\bot}},X_m^{^{\bot}} \rangle \end{array} \right|= \\ & & \\ & & \\ &=&\underbrace{\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1},X_m^{^{\parallel}})}_{=0}+ \left| \begin{array}{rrrc} \langle X_1,X_1 \rangle & \dots & \langle X_1,X_{m-1} \rangle & 0 \\ \dots & & \dots & \dots \\ \langle X_{m-1},X_1 \rangle & \dots & \langle X_{m-1},X_{m-1} \rangle & 0 \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \dots & \langle X_{m},X_{m-1} \rangle & \langle X_m^{^{\bot}},X_m^{^{\bot}} \rangle \end{array} \right|= \\ & & \\ &=&\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1})\left|X_m^{^{\bot}} \right|^2 \ . \end{array} $$