Основное
Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
Теорема. Расстояние от точки $ X_{} $ до линейного подпространства, базисом которого является система $ \{ X_1,\dots,X_{k} \} $, вычисляется по формуле:
$$ d=\sqrt{\frac{{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_k, X)}{{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_k)}} \ . $$ Здесь $ {\mathfrak G} $ — определитель Грама соответствующей системы векторов.
Доказательство основано на алгоритме нахождения ортогональной составляющей вектора относительно линейного подпространства, образованного векторами $ X_1,\dots,X_k $, т.е. до $ \mathcal L(X_1,\dots,X_k) $. Если $ X=X^{\bot} + X^{^{\parallel}} $ при $ X^{\bot} $ — ортогональной составляющей вектора $ X_{ } $ и при $ X^{^{\parallel}} $ — принадлежащем подпространству (т.е. $ X^{^{\parallel}} \in \mathcal L (X_1,\dots,X_k) $), то $$ X^{^{\parallel}}=\alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_k X_k $$ при некоторых вещественных скалярах $ \alpha_1,\dots,\alpha_k $. Для нахождения скаляров $ \alpha_1,\dots , \alpha_k $ используем тот факт, что вектор $ X^{^{\bot}}=X-X^{^{\parallel}} $ должен быть ортогонален $ \mathcal L (X_1,\dots,X_k) $, а значит, ортогонален каждому $ X_j $: $$\langle X-X^{^{\parallel}}, X_j \rangle =0 \ \iff \ \langle X^{^{\parallel}}, X_j \rangle=\langle X,X_j \rangle \ . $$ Получаем систему линейных уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{ccccc} \alpha_1 \langle X_1,X_1\rangle &+ \alpha_2 \langle X_1,X_2\rangle &+ \dots &+ \alpha_k \langle X_1,X_k\rangle &= \langle X,X_1\rangle, \\ \alpha_1 \langle X_2,X_1\rangle & + \alpha_2 \langle X_2,X_2\rangle &+ \dots &+ \alpha_k \langle X_2,X_k \rangle &= \langle X,X_2\rangle, \\ \dots & & & & \dots \\ \alpha_1 \langle X_k,X_1 \rangle & + \alpha_2 \langle X_k,X_2 \rangle &+ \dots &+ \alpha_k \langle X_k,X_k \rangle &= \langle X,X_k \rangle. \end{array} \right. $$ Матрица этой системы является матрицей Грама $ G(X_1,\dots,X_k) $, и (как доказывается ЗДЕСЬ ) она является неособенной поскольку система векторов $ \{ X_1,\dots,X_k \} $ линейно независима. Решение системы уравнений получается с помощью обращения матрицы Грама: $$ \left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{array} \right)= G^{-1} \left( \begin{array}{c} \langle X,X_1 \rangle \\ \langle X,X_2 \rangle\\ \vdots \\ \langle X,X_k \rangle \end{array} \right) \ . $$ Теперь вычисляем длину ортогональной составляющей: $$ \left|X^{\bot} \right|^2 = \langle X- X^{^{\parallel}},\ X- X^{^{\parallel}}\rangle=\langle X- \alpha_1 X_1 - \dots - \alpha_k X_k,\ X- \alpha_1 X_1 - \dots - \alpha_k X_k \rangle = $$ $$ =\langle X,X\rangle -2\langle \alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_k X_k,X \rangle + (\alpha_1,\dots,\alpha_k) \cdot G(X_1,\dots,X_k) \cdot \left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{array} \right)= $$ $$ = \langle X,X \rangle-2\left[\langle X,X_1\rangle,\dots,\langle X,X_k \rangle \right]\left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{array} \right) +(\alpha_1,\dots,\alpha_k) G(X_1,\dots,X_k)\left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{array} \right)= $$ подставляем сюда найденые значения скаляров $ \alpha_1,\dots,\alpha_k $: $$ =\langle X,X \rangle-\left[\langle X,X_1\rangle,\dots,\langle X,X_k\rangle \right]G^{-1} \left[ \begin{array}{c} \langle X,X_1 \rangle \\ \vdots \\ \langle X,X_k \rangle \end{array} \right]= $$ Воспользуемся формулой вычисления окаймленного определителя: $$ =\left| \begin{array}{ccccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_k \rangle & \langle X_1,X \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_k \rangle & \langle X_2,X \rangle \\ \dots & && & \dots \\ \langle X_k,X_1 \rangle & \langle X_k,X_2 \rangle & \dots & \langle X_k,X_k \rangle & \langle X_k,X \rangle \\ \langle X,X_1 \rangle & \langle X,X_2 \rangle & \dots & \langle X,X_k \rangle & \langle X,X \rangle \end{array} \right| \bigg/ \det (G(X_1,\dots,X_k))=\frac{{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_k, X)}{{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_k)} \ , $$ что и завершает доказательство. ♦