1. Пусть $ \{X_{1},\dots,X_n, Y_1,\dots,Y_n \} $ — произвольная система векторов $ n_{} $-мерного пространства $ \mathbb E_{} $. Доказать, что $$ {\mathfrak G}(X_1,\dots,X_n){\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_n)= \left| \begin{array}{cccc} \langle X_1,Y_1 \rangle & \langle X_1,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_1,Y_n \rangle \\ \langle X_2,Y_1 \rangle & \langle X_2,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_2,Y_n \rangle \\ \dots & && \dots \\ \langle X_n,Y_1 \rangle & \langle X_n,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_n,Y_n \rangle \end{array} \right|^2 \ . $$

2. Пусть $ \{X_{1},\dots,X_n \} $ и $ \{ {\mathfrak X}_{1},\dots, {\mathfrak X}_n \} $ — два базиса пространства $ \mathbb E_{} $, а $ C_{} $ — матрица перехода от одного базиса к другому. Доказать, что $$ G({\mathfrak X}_1,\dots, {\mathfrak X}_n )= C^{\top}G(X_1,\dots,X_n)C \ . $$

3. Пусть $ \{X_{1},\dots,X_n \} $ — произвольные векторы $ n_{} $-мерного пространства $ \mathbb E_{} $, а $ \mathcal A_{} $ — линейный оператор, действующий в этом пространстве. Доказать, что $$ {\mathfrak G}(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n))=\left( \det (\mathcal A) \right)^2 \cdot {\mathfrak G}(X_1,\dots, X_n) \ . $$

4. Доказать, что любая вещественная симметричная матрица $ A \in \mathbb R^{n\times n} $ с неотрицательными ведущими минорами (т.е. положительно полуопределенная ) является матрицей Грама некоторой системы столбцов $ \{X_1,\dots, X_n\} \subset \mathbb R^n $; скалярное произведение задается стандартным способом. Иными словами, любую такую матрицу можно представить в виде произведения $$ A=C^{\top}C $$ при некоторой матрице $ C \in \mathbb R^{n\times n} $.

5. [Пойа]. Доказать, что определитель $$ \det [(|X_1|^2+|X_2|^2+\dots+|X_m|^2)E-G(X_1,X_2,\dots,X_m)]= $$ $$ =\left| \begin{array}{cccc} |X_2|^2+\dots+|X_m|^2 & -\langle X_1,X_2 \rangle & \dots & -\langle X_1,X_m \rangle \\ -\langle X_2,X_1 \rangle & |X_1|^2+|X_3|^2+\dots+|X_m|^2 & \dots & -\langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & && \dots \\ -\langle X_m,X_1 \rangle & -\langle X_m,X_2 \rangle & \dots & |X_1|^2+\dots+|X_{m-1}|^2 \end{array} \right| $$ всегда неотрицателен и обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы $ \{X_1,\dots,X_m\} $ пропорциональны, т.е. $ \{X_j=c_j X \}_{j=1}^m $ при некоторых $ X \in \mathbb E $ и $ \{ c_j \}_{j=1}^ m \subset \mathbb R $.

6. Вычислить площадь параллелограмма в $ \mathbb R^3 $ с вершинами $ (0,0,0), (1,1,2), (3,1,3), (4,2,5) $.