Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА


Т

Теорема. $ {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m) \ge 0 $ для любой системы векторов $ \{X_{1},\dots,X_m \} $.

Доказательство. Если система $ \{X_1,\dots,X_m \} $ линейно зависима, то $ \mathfrak{G}(X_1,\dots,X_m)= 0 $ по теореме, доказанной ЗДЕСЬ. Пусть система $ \{X_1,\dots,X_m \} $ линейно независима. Это означает, что при любом ненулевом наборе скаляров $ \alpha_1,\dots,\alpha_m $ вектор $ Y=\alpha_1 X_1+\dots+\alpha_m X_m $ будет ненулевым: $ Y \ne \mathbb O $. Следовательно $$ 0<\langle Y,Y \rangle=\underbrace{(\alpha_1,\dots, \alpha_m) \left( \begin{array}{ccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \dots & & \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{array} \right)}_{=F(\alpha_{_1},\dots,\alpha_{_m}) } $$ при любых $ (\alpha_1, \dots , \alpha_m) \ne \mathbb O $. Это означает положительную определенность квадратичной формы $ F(\alpha_1,\dots,\alpha_m) $. По критерию Сильвестра все главные миноры ее матрицы — т.е. матрицы Грама — дожны быть положительными: $$\mathfrak{G}(X_1)> 0,\mathfrak{G}(X_1,X_2)>0,\dots,\mathfrak{G}(X_1,X_2,\dots,X_m)>0 \, .$$

dets/gram/vspom2.txt · Последние изменения: 2020/05/24 16:33 — au