Обобщение понятия симметричной матрицы на матрицы с комплексными элементами можно было бы формально произвести по той же определяющей формуле $ A=A^{\top} $. Однако такое обобщение практически не используется ввиду потери ряда полезных свойств вещественных симметричных матриц. Вместо этого используют матрицы вида $$ A=P+ \mathbf i Q \quad \mbox{при} \ \{P,Q\} \in \mathbb R^{n\times n}, \ P=P^{\top}, \ Q=-Q^{\top} \ , $$ т.е. матрица $ P $ — симметричная, а $ Q $ — кососимметричная. Такие матрицы удовлетворяют равенству $$ \overline{A}^{\top}= A \, $$ где $ \overline{A} $ означает комплексное сопряжение всех элементов матрицы $ A $. Матрицы такого вида называются эрмитовыми¹⁾. Саму операцию нахождения $ \overline{A}^{\top} $ для произвольной матрицы $ A $ называют эрмитовым сопряжением и обозначают $ A^{\mathsf H} $.

Пример.

$$ \left( \begin{array}{cc} 1+ \mathbf i & \sqrt{3} \\ -2- \mathbf i & 5 \mathbf i \\ -4 \mathbf i & 2 \end{array} \right)^{\mathsf H} = \left( \begin{array}{ccc} 1 - \mathbf i & -2+ \mathbf i & 4 \mathbf i \\ \sqrt{3} & - 5 \mathbf i & 2 \end{array} \right) $$

С использованием такого обозначения, эрмитова матрица — это матрица, удовлетворяющая равенству $$ A^{\mathsf H}= A \, . $$

Пример. Общий вид эрмитовой матрицы четвертого порядка:

$$ \left( \begin{array}{сссc} u_{11} & u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{14}+ \mathbf i v_{14} \\ u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}+ \mathbf i v_{23} & u_{24}+ \mathbf i v_{24} \\ u_{13}- \mathbf i v_{13} & u_{13}- \mathbf i v_{13} & u_{33}& u_{34}+ \mathbf i v_{34} \\ u_{14}- \mathbf i v_{14} & u_{24}- \mathbf i v_{24} & u_{34}- \mathbf i v_{34} & u_{44} \end{array} \right) \quad \mbox{при} \ \{u_{jk},v_{jk}\}_{j,k=1}^4 \subset \mathbb R \, . $$

Теорема 1. Собственные числа эрмитовой матрицы все вещественны.

В отличие от симметричных матриц, собственные векторы эрмитовых матриц, вообще говоря, комплексны. Собственные векторы транспонированной эрмитовой матрицы получаются комплексным сопряжением собственных векторов самой матрицы.

Теорема 2. Если $ \lambda_1 \ne \lambda_2 $ — cобственные числа эрмитовой матрицы, и $ \mathfrak X_1 $ и $ \mathfrak X_2 $ — соответствующие им собственные векторы, то

$$ \mathfrak X_1^{\mathsf H} \mathfrak X_2=0 \, . $$

Обобщением понятия ортогональной матрицы является унитарная матрица, т.е. квадратная матрица $ U $, удовлетворяющая равенству $$ U^{\mathsf H} U = E \, ,$$ где $ E $ — единичная матрица.

Теорема 3. Для любой эрмитовой матрицы $ A $ существует унитарная матрица $ U $ такая, что

$$ U^{\mathsf H} A U = \left(\begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \mathbb O \\ \mathbb O & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{array} \right) \, , $$ где $ \{\lambda_1,\dots, \lambda_n \} $ — спектр матрицы $ A $.