Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ


Полиномиальные "генераторы" простых чисел

Т

Теорема. Если значение полинома степени $ 25 $ от $ 26 $ переменных

$$ F(a,b,c,d,\dots,w)= $$ $$ =(k+2)\bigg\{1-[wz+h+j-q]^2-[(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]^2-[2\,n+p+q+z-e]^2- $$ $$ -[16\,(k+1)^3(k+2)(n+1)^2+1-f^2]^2-[e^3(e+2)(a+1)^2+1-o^2]^2-[(a^2-1)y^2+1-x^2]^2-[16\,r^2y^4(a^2-1)+1-u^2]^2- $$ $$ - [((a+u^2(u^2-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^2]^2-[n+\ell+v-y]^2-[(a^2-1)\ell^2+1-m^2]^2-[ai+k+1-\ell-i]^2- $$ $$ -[p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m]^{2}-[q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^2-2p-2)-x]^2- $$ $$ -[z+p\ell (a-p)+t(2 a p-p^{2}-1)-m p]^{2} \bigg\} \ . $$ при некотором наборе неотрицательных целых значений переменных $ (a_0,b_0,\dots,w_0) $ положительно, то это значение — обязательно простое число.

Структура полинома такова, что множитель, стоящий в фигурных скобках $ \{ \ \} $, может принимать положительные значения (конкретно, $ 1_{} $), тогда и только тогда, когда все слагаемые, кроме первой $ 1_{} $ обратятся в нуль. Иными словами, значения переменных, при которых полином $ F_{} $ принимает положительные значения, должны удовлетворять системе из $ 14_{} $ алгебраических уравнений $$ \left\{ \begin{array}{rl} wz+h+j-q&=0, \\ (gk+2g+k+1)(h+j)+h-z&=0, \\ 2\,n+p+q+z-e&=0, \\ 16\,(k+1)^3(k+2)(n+1)^2+1-f^2&=0, \\ e^{3}(e+2)(a+1)^2+1-o^2&=0, \\ (a^2-1)y^2+1-x^2&=0, \\ 16\,r^2y^4(a^2-1)+1-u^2&=0,\\ ((a+u^2(u^2-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^2&=0,\\ n+\ell+v-y&=0,\\ (a^2-1)\ell^2+1-m^2&=0,\\ ai+k+1-\ell-i&=0,\\ p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m&=0, \\ q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^2-2p-2)-x&=0,\\ z+p\ell (a-p)+t(2 a p-p^2-1)-m p&=0. \end{array} \right. $$ Возникает отдельная задача о нахождении неотрицательных целых решений алгебраической системы уравнений. Эта задача оказывается нетривиальной, поскольку регулярных способов решения нелинейных диофантовых уравнений (кроме тривиального перебора) в настоящее время нет. Можно воспользоваться тем обстоятельством, что часть уравнений являются линейными — это позволит уменьшить число переменных. Можно попытаться исключить оставшиеся переменные (например, с помощью теории исключения) — но это приведет к усложнению оставшихся уравнений. Оптимизация в сторону уменьшения количества переменных приводит к увеличению степени генерирующего полинома. Так, в [1] доказано существование полинома от $ 10 $ переменных степени $ 1.6\times 10^{45} $. Оптимизация в сторону уменьшения степени приводит к росту числа переменных (существует генератор степени $ 5 $ от $ 42_{} $ переменных).

Хотя результат является выдающимся достижением в теории целых чисел, практическую его значимость следует признать незначительной.

Источники

[1]. Матиясевич Ю.В. Диофантово представление множества простых чисел. ДАН СССР, 1971, Т. 196, № 4, 770-773

[2]. Jones J.P., Sato D., Wada H., Wiens D. Diophantine representation of the set of prime numbers. Amer. Math. Monthly, 83 (1976) 449-464.

numtheory/vspom3.txt · Последние изменения: 2020/05/09 17:06 — au