Пример. Найти условие, при котором полиномы

$$ f(x)=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 \ u \ g(x)=b_0x^3+b_1x^2+b_2x+b_3 $$ $ (a_0\ne0,b_0\ne0) $ имеют общий корень.

Решение. Пусть $ f $ и $ g $ имеют общий (в общем случае комплексный) корень $ x=\lambda \in {\mathbb C} $: $ f(\lambda )=0,g(\lambda )=0 $. Сгенерируем из этих равенств еще несколько: $$ \begin{array}{rrrrrrrrrr} \lambda^2 f(\lambda)=&a_0\lambda^7&+a_1\lambda^6&+a_2\lambda^5&+a_3\lambda^4&+a_4\lambda^3&+a_5\lambda^2&&&=0 ,\\ \lambda f(\lambda)=&&a_0\lambda^6&+a_1\lambda^5&+a_2\lambda^4&+a_3\lambda^3&+a_4\lambda^2&+a_5\lambda&&=0, \\ f(\lambda)=&&&a_0\lambda^5&+a_1\lambda^4&+a_2\lambda^3&+a_3\lambda^2&+a_4\lambda&+a_5&=0,\\ g(\lambda)=&&&&&b_0\lambda^3&+b_1\lambda^2&+b_2\lambda&+b_3&=0, \\ \lambda g(\lambda)=&&&&b_0\lambda^4&+b_1\lambda^3&+b_2\lambda^2&+b_3\lambda&&=0,\\ \lambda^2g(\lambda)=&&&b_0\lambda^5&+b_1\lambda^4&+b_2\lambda^3&+b_3\lambda^2&&&=0, \\ \lambda^3g(\lambda)=&&b_0\lambda^6&+b_1\lambda^5&+b_2\lambda^4&+b_3\lambda^3&&&&=0,\\ \lambda^4g(\lambda)=&b_0\lambda^7&+b_1\lambda^6&+b_2\lambda^5&+b_3\lambda^4&&&&&=0 . \end{array} $$ Запишем эти равенства как систему линейных уравнений в матричном виде: $$ \begin{array}{r} 3\left\{\begin{array}{r} \\ \\ \\ \end{array}\right. \\ 5\left\{\begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\right. \end{array} \underbrace{\left(\begin{array}{cccccccc} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&&\\ &a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&\\ &&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\ &&&&b_0&b_1&b_2&b_3\\ &&&b_0&b_1&b_2&b_3&\\ &&b_0&b_1&b_2&b_3&&\\ &b_0&b_1&b_2&b_3&&&\\ b_0&b_1&b_2&b_3&&&& \end{array}\right)}_{\textstyle M_{8\times8}} \underbrace{\left(\begin{array}{c} \lambda^7 \\ \lambda^6 \\ \lambda^5 \\ \lambda^4 \\ \lambda^3 \\ \lambda^2 \\ \lambda \\ 1 \end{array}\right)}_{X} ={\mathbb O}_{8\times 1} $$ относительно столбца неизвестных $$ X=\left[\lambda^7,\lambda^6,\lambda^5,\lambda^4,\ldots,1 \right]^{\top} $$ (неуказанные элементы матрицы $ M $ считаются равными нулю). Эта система однородная и имеет нетривиальное решение (последняя компонента вектора $ X $ равна единице). Следовательно, на основании теоремы Кронекера-Капелли, определитель ее матрицы равен нулю: $ \det M=0 $. Но этот определитель, с точностью до знака, совпадает с результантом $ \mathcal R (f,g) $ полиномов $ f(x) $ и $ g(x) $. Таким образом, условие $ \mathcal R (f,g) $ является, по крайней мере, необходимым для существования общего корня полиномов $ f $ и $ g $. ♦

К результанту в форме Сильвестра можно прийти и с другой стороны — поставив задачу поиска наибольшего общего делителя полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $: см. ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема. Полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ будут взаимно просты тогда и только тогда, когда найдутся два полинома $ \{u(x),v(x)\} \subset \mathbb C[x] $ такие, что будет выполнено тождество Безу:

$$ f(x)v(x)+g(x)u(x) \equiv 1 \ . $$

Если для $ \{f(x),g(x)\} \subset \mathbb C[x] $ существует хотя бы одна пара полиномов, удовлетворяющая тождеству Безу, то таких пар существует бесконечно много. Однако при дополнительном ограничении на степени $ \deg v < \deg g, \ \deg u < \deg f $ такая пара полиномов будет единственна.

Будем искать полиномы $ u(x) $ и $ v(x) $ из последнего следствия методом неопределенных коэффициентов. Поскольку известны ограничения на степени полиномов, то их можно представить в каноническом виде $$u(x)=U_0x^{n-1} + U_1x^{n-2}+\dots + U_{n-1}, \quad v(x)=V_0x^{m-1} + V_1x^{m-2}+\dots + V_{m-1} $$ при $ m = \deg g(x), n = \deg f(x) $ и коэффициентах $ U_0,\dots,U_{n-1}, V_0,\dots,V_{m-1} $, которые и требуется определить. Для их нахождения используется тождество Безу, в левой части которого после приведения подобных образуется полином $ (n+m-1) $-й степени. Поскольку этот полином должен тождественно равняться $ 1 $, то все его коэффициенты должны быть равными нулю, кроме свободного члена, равного $ 1 $. Полученная система из $ n+m $ уравнений будет линейной относительно коэффициентов $ U_0,\dots, U_{n-1},V_0,\dots, V_{m-1} $. Следствие к теореме гарантирует единственность решения этой системы в случае $ \operatorname{HOD}(f(x),g(x)) \equiv 1 $.

Пример. Построить систему линейных уравнений для определения коэффициентов полиномов $ u_{}(x) $ и $ v_{}(x) $ для случая $ n_{}=5,m=3 $.

Решение. В этом примере полиномы $ u(x) $ и $ v(x) $ следует искать в виде $$ v(x) = V_0x^2+V_1x+V_2,\ u(x)= U_0x^4+U_1x^3+U_2x^2+U_3x+U_4 \ . $$ Подставим эти выражения в тождество Безу $$(V_0a_0+U_0b_0)x^7+(V_0a_1+V_1a_0+U_0b_1+U_1b_0)x^6+\dots+(V_2a_5+U_4b_3) \equiv 1 \ . $$ Имеем: $$ \left\{ \begin{array}{rrrrrrrrr} V_0a_0& & &+U_0b_0& & && &=0 \\ V_0a_1&+V_1a_0& &+U_0b_1&+U_1b_0& && &=0 \\ V_0a_2&+V_1a_1&+V_2a_0&+U_0b_2&+U_1b_1& +U_2b_0&& &=0 \\ &&\dots&&&\dots&&& \dots \\ &&V_2a_5& &&&&+U_4b_3&=1 \end{array} \right. $$ Получим систему из восьми линейных уравнений для определения восьми коэффициентов $ V_0,V_1,V_2, U_0,U_1,U_2,U_3,U_4 $. Определитель этой системы $$ \left| \begin{array}{rrrrrrrr} a_0 & 0 & 0 & b_0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_1 & a_0 & 0 & b_1 & b_0 & 0 & 0 & 0 \\ a_2 & a_1 & a_0 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 \\ a_4 & a_3 & a_2 & 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ a_5 & a_4 & a_3 & 0 & 0 & b_3 & b_2 & b_1 \\ 0 & a_5 & a_4 & 0 & 0 & 0 & b_3 & b_2 \\ 0 & 0 & a_5 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_3 \end{array} \right| $$ с точностью до транспонирования и перестановки столбцов совпадает с результантом. По предположению, система должна иметь единственное решение. Следовательно (см. ☞ формулы Крамера ) ее определитель не равен нулю. Верно и обратное, если определитель отличен от нуля, то решение у системы единственно, т.е. полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ — взаимно просты. Таким образом, мы получили еще один вывод основного свойства результанта: обращение в нуль $ \mathcal R(f,g) $ является необходимым и достаточным условием существования нетривиального $ \operatorname{HOD} (f,g) $.

Сами полиномы $ u_{}(x) $ и $ v_{}(x) $ из тождества Безу можно изящно выразить опять-таки в форме сильвестроподобных определителей.

Теорема. Существуют полиномы $ \tilde u(x) $ и $ \tilde v (x) $ из $ \mathbb A[x] $ cтепеней $ \deg \tilde u \le (\deg f)-1,\ \deg \tilde v \le (\deg g) -1 $, удовлетворяющие тождеству линейного представления результанта:

$$ {\mathcal R}(f,g)\equiv f(x) \tilde v(x)+g(x) \tilde u(x) \ . $$ Если, вдобавок, полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ взаимно просты, то полиномы $ \tilde u(x) $ и $ \tilde v(x) $ определяются единственным образом.

Доказательство проведем снова для случая $ n_{}=5 $ и $ m_{}=3 $. Прибавим к последнему столбцу определителя матрицы $ M_{} $ $$ \left|\begin{array}{cccccccccc} a_0&a_1&a_2&\ldots&\ldots&a_n&0&\dots &0 &0\\ 0&a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&\dots&0 &0\\ \vdots&&\ddots&&&&&&\ddots\\ 0&0&\ldots&a_0&\ldots&\ldots & & \ldots &a_{n-1} &a_n\\ 0&0&\ldots&&b_0&b_1&\ldots& \ldots &b_{m-1}&b_m\\ 0&0&\ldots&b_0&b_1&\ldots &&\ldots &b_m&0\\ \vdots&&&\ldots&&&& &&\vdots\\ 0&b_0&\ldots&\ldots&&b_m&\ldots&&\ldots&0\\ b_0&\ldots&\ldots&&b_m&0&\ldots&&&0 \end{array}\right| $$ его первый столбец, домноженный на $ x^{7} $, второй, домноженный на $ x^{6} $, и т.д., предпоследний, домноженный на $ x_{} $. Величина определителя не изменится (cм. свойство 6 ☞ ЗДЕСЬ ). С другой стороны¹⁾, $${\mathcal R}(f,g)=\left|\begin{array}{cccccccr} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&0&x^2f(x)\\ 0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&xf(x)\\ 0&0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&f(x)\\ 0&0&0&0&b_0&b_1&b_2&g(x)\\ 0&0&0&b_0&b_1&b_2&b_3&xg(x)\\ 0&0&b_0&b_1&b_2&b_3&0&x^2g(x)\\ 0&b_0&b_1&b_2&b_3&0&0&x^3g(x)\\ b_0&b_1&b_2&b_3&0&0&0&x^4g(x) \end{array}\right| .$$ Представим последний столбец определителя в виде суммы двух: $$[f(x)x^2,f(x)x,f(x),0,0,0,0,0]^{\top} \ u \ [0,0,0,g(x),xg(x),x^2g(x),x^3g(x), x^4g(x)]^{\top} \ ; $$ тогда определитель можно также расщепить (cм. свойство 5 ☞ ЗДЕСЬ ) в сумму двух. Следовательно, полином $ \tilde v(x) $ равен определителю, получающемуся из результанта в форме Сильвестра заменой в нем последнего столбца на $ [x^2,x,1,0,0,0,0,0]^{\top} $, а $ \tilde u(x) $ — заменой последнего столбца на $ [0,0,0,1,x,x^2,x^3,x^4]^{\top} $. ♦

Пример. Найти полиномы $ u_{}(x) $ и $ v_{}(x) $, удовлетворяющие тождеству Безу для

$$ f(x)=x^{5}-4\,x-2,\ g(x)=x^3-1 \, . $$

Решение. Имеем²⁾: $$ {\mathcal R}(f,g)=\left|\begin{array}{rrrrrrrr} 1&0&0&0&-4&-2&0&0\\ 0&1&0&0&0&-4&-2&0\\ 0&0&1&0&0&0&-4&-2\\ 0&0&0&0&1&0&0&-1\\ 0&0&0&1&0&0&-1&0\\ 0&0&1&0&0&-1&0&0\\ 0&1&0&0&-1&0&0&0\\ 1&0&0&-1&0&0&0&0 \end{array}\right|=95 \ . $$ Разложим по последнему столбцу определитель $$ \tilde v(x)=\left|\begin{array}{rrrrrrrr} 1&0&0&0&-4&-2&0&x^2\\ 0&1&0&0&0&-4&-2&x\\ 0&0&1&0&0&0&-4&1\\ 0&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&-1&0\\ 0&0&1&0&0&-1&0&0\\ 0&1&0&0&-1&0&0&0\\ 1&0&0&-1&0&0&0&0 \end{array}\right|= -18\,x^2+7\,x-8\ . $$ Аналогично находим $ \tilde u(x)= 18\,x^{4}-7\,x^3+8\,x^2+18\,x-79 $.

Ответ. $ u(x) =1/95 (18\,x^4-7\,x^3+8\,x^2+18\,x-79 ),\ v(x)=1/95 (-18\,x^2+7\,x-8) $.

Рассмотрим снова пример, с которого начинается настоящий раздел.

Пример. Пусть полиномы

$$ f(x)=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 \ u \ g(x)=b_0x^3+b_1x^2+b_2x+b_3 $$ $ (a_{0}\ne0,b_0\ne0) $ имеют общий корень. Выразить этот общий корень через коэффициенты полинома.

Решение. Если обозначить общий корень полиномов $ f_{} $ и $ g_{} $ через $ \lambda_{} $, то можно выписать систему линейных уравнений, которую мы привели ВЫШЕ для вывода условия на результант. Выбросим из этой системы первое и последнее равенства: $$ \begin{array}{cccccccr} a_0\lambda^6+&a_1\lambda^5+&a_2\lambda^4+&a_3\lambda^3+&a_4\lambda^2+&a_5\lambda&&=0\ ,\\ &a_0\lambda^5+&a_1\lambda^4+&a_2\lambda^3+&a_3\lambda^2+&a_4\lambda+&a_5&=0\ ,\\ &&&b_0\lambda^3+&b_1\lambda^2+&b_2\lambda+&b_3&=0\ ,\\ &&b_0\lambda^4+&b_1\lambda^3+&b_2\lambda^2+&b_3\lambda&&=0\ ,\\ &b_0\lambda^5+&b_1\lambda^4+&b_2\lambda^3+&b_3\lambda^2&&&=0\ ,\\ b_0\lambda^6+&b_1\lambda^5+&b_2\lambda^4+&b_3\lambda^3&&&&=0\ . \end{array} $$ Перепишем в матричном виде $$\underbrace{\left(\begin{array}{cccccc} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\ 0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4\\ 0&0&0&b_0&b_1&b_2\\ 0&0&b_0&b_1&b_2&b_3\\ 0&b_0&b_1&b_2&b_3&0\\ b_0&b_1&b_2&b_3&0&0 \end{array} \right)}_{\textstyle M_1} \left(\begin{array}{l} \lambda^6\\ \lambda^5\\ \lambda^4\\ \lambda^3\\ \lambda^2\\ \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ -a_5\\ -b_3\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\ .$$ Пусть $ \det M_1\ne 0 $. Тогда, по теореме Крамера, существует единственное решение системы относительно столбца неизвестных $$ Y=\left[\lambda^6,\lambda^5,\lambda^4,\ldots,\lambda \right]^{\top} \ , $$ и последняя компонента этого решения — т.е. искомый корень $ \lambda_{} $ — может быть представлена в виде $$ \lambda=- \underbrace{\left| \begin{array}{cccccc} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&0\\ 0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_5\\ 0&0&0&b_0&b_1&b_3\\ 0&0&b_0&b_1&b_2&0\\ 0&b_0&b_1&b_2&b_3&0\\ b_0&b_1&b_2&b_3&0&0 \end{array}\right|}_{\det M_1^{(1)}} / \det M_1\ . $$ Таким образом, при выполнении равенства $ \mathcal R(f,g)=0 $ условие $ \det M_1 \ne 0 $ является необходимым для единственности общего корня полиномов $ f(x) $ и $ g(x) $. ♦

Определитель матрицы $ M_1 $, получаемой из матрицы Сильвестра вычеркиванием первого и последнего столбцов, первой и последней строк, называется первым субрезультантом полиномов $ f_{} $ и $ g_{} $; будем обозначать его $ {\mathcal R}^{(1)}(f,g) $.

[1]. Бохер М. Введение в высшую алгебру. М.-Л. ГТТИ, 1933

[2]. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. Учеб. пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 72 с.