При $ n \in \mathbb N $ и $ k\in \{0,1,2,\dots \} $ обозначим $$ \displaystyle S_k(n)= 1^k+2^k+\dots+n^k= \sum_{j=1}^n j^k $$ и $ \displaystyle C_n^k $ — биномиальный коэффициент.

Теорема. Имеет место рекурсивная формула¹⁾:

$$(k+1)S_k+C_{k+1}^2 S_{k-1}+C_{k+1}^3 S_{k-2}+\dots+C_{k+1}^k S_1+ S_0=(n+1)^{k+1}-1 \ , $$ позволяющая выразить $ S_{k} $ через $ S_{k-1},S_{k-2},\dots,S_1,S_0 $.

Явное выражение для $ S_k(n) $ получается с использованием определителя.

Теорема. Имеют место равенства:

$$ S_k(n)=\frac{1}{(k+1)!} \left| \begin{array}{llllll} (n+1)^{k+1} & C_{k+1}^{k-1} & C_{k+1}^{k-2} & \dots & C_{k+1}^{1} & 1 \\ (n+1)^{k} & C_{k}^{k-1} & C_{k}^{k-2} & \dots & C_{k}^{1} & 1 \\ (n+1)^{k-1} & 0 & C_{k-1}^{k-2} & \dots & C_{k-1}^{1} & 1 \\ \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ (n+1)^{2} & 0 & 0 & \dots & C_{2}^{1} & 1 \\ (n+1) & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{array} \right|_{(k+1)\times (k+1)} $$ $$ =\frac{1}{(k+1)!} \left| \begin{array}{clllll} n^{k}(n+k+1) & C_{k+1}^{k-1} & C_{k+1}^{k-2} & \dots & C_{k+1}^{1} & 1 \\ n^{k} & C_{k}^{k-1} & C_{k}^{k-2} & \dots & C_{k}^{1} & 1 \\ n^{k-1} & 0 & C_{k-1}^{k-2} & \dots & C_{k-1}^{1} & 1 \\ \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ n^{2} & 0 & 0 & \dots & C_{2}^{1} & 1 \\ n & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{array} \right|_{(k+1)\times (k+1)} \, . $$

Выражение для $ S_k(n) $ будет полиномом от $ n_{} $ степени $ k+1 $ со старшим коэффициентом равным $ 1/(k+1) $. Коэффициенты этого полинома

$$ S_k(n) = \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k C_{k+1}^{k+1-j} B_j (n+1)^{k+1-j} $$ связаны с числами Бернулли $ \{ B_j \}_{j=0}^{\infty} $ — коэффициентами разложения функции $ x/(e^x-1) $ в ряд Тейлора. $$ B_0=1,\ B_1=-\frac{1}{2},\ B_2=\frac{1}{6},\ B_3=0,\ B_4=-\frac{1}{30}, B_5=0,\ B_6=\frac{1}{42}, B_7=0,\ B_8= -\frac{1}{30},\dots $$ Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Пример.

$$ S_0=\underbrace{1+1+\dots+1}_n=n \ . $$ $$ S_1= 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}=C_{n+1}^2 \ . $$ $$ S_2= 1^2+2^2+\dots+n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \ . $$ $$ S_3= 1^3+2^3+\dots+n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}= S_1^2 \ . $$ $$ S_4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}=S_2\frac{6S_1-1}{5} \ . $$

Теорема. Имеет место равенство:

$$ 1^k+3^k+5^k+\dots+(2n-1)^k=\sum_{j=1}^n (2j-1)^k=S_k(2n)-2^k S_k(n) \ . $$

Пример.

$$1+3+5+\dots+(2n-1)=\sum_{j=1}^n (2j-1)=n^2 \ . $$ $$ 1^2+3^2+5^2+\dots+(2n-1)^2=\sum_{j=1}^n (2j-1)^2=\frac{n(4n^2-1)}3 \ . $$ $$ 1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=\sum_{j=1}^n (2j-1)^3=n^2(2n^2-1) \ . $$

Теорема. Из множества чисел $ \{1,2,\dots,n\} $ составляем всевозможные наборы, состоящие из $ k_{} $ чисел: $ (a_1,a_2,\dots,a_k) $ (в наборе допускаются одинаковые числа). Имеет место равенство $$ \sum \min (a_1,\dots,a_k) = S_k(n) \ ; $$ здесь сумма распространяется на все $ n^k $ наборов.

Источники .

Пойа Д. Математическое открытие. М.Наука.1970

Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.Наука. 1974; задача N 604.

Хонсбергер Р. Математические изюминки. М.Наука. 1992, cc.29-30

Теорема. Если $ A_{} $ — положительно определенная матрица порядка $ n_{} $ (не обязательно симметричная) и $ B \in \mathbb R^n $ — вектор-столбец, то существует вектор-столбец $ X_{} \in \mathbb R^n $, удовлетворяющий условиям $$ X^{\top} A X+ B^{\top} X = 0,\ AX+B \ge 0, \ X\ge 0 \ . $$

Источник.

Dorn W.S. Self-dual quadratic programs. Quart. Appl. Math. 9, 1961, pp. 51-54.

Теорема [Пик]. Площадь многоугольника, вершины которого находятся в целочисленных точках (и не имеющего самопересечений) выражается в виде $$ Q+\frac{P}{2}-1 \ , $$ где $ Q_{} $ — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а $ P_{} $ — количество целочисленных точек на его границе.

Теорема [Уиттекер]. Пусть степенной ряд

$$a_0+a_1x+a_2x^2+\dots $$ сходится в круге $ |x|< r $ и уравнение $$ 0=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots $$ имеет простой корень $ \lambda $, такой что $ | \lambda |< r $ и $ | \lambda | $ меньше модулей остальных корней уравнения. Тогда этот корень можно представить в виде сходящегося ряда

$$ \lambda=-\frac{a_0}{a_1}- \frac{a_0^2a_2}{a_1\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ a_0 & a_1 \end{array} \right|} - \frac{a_0^3\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ a_1 & a_2 \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ a_0 & a_1 \end{array} \right| \cdot \left|\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_0 & a_1 & a_2 \\ 0 & a_0 & a_1 \end{array} \right| } - \frac{a_0^4\left|\begin{array}{lll} a_2 & a_3 & a_4 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ a_0 & a_1 & a_2 \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_0 & a_1 & a_2 \\ 0 & a_0 & a_1 \end{array} \right| \cdot \left|\begin{array}{llll} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & a_0 & a_1 & a_2 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 \end{array} \right| }- \dots- \frac{a_0^kD_{2,k-1}}{D_{1,k-1}D_{1k}} - \dots $$ Здесь $$ D_{1k}=\left|\begin{array}{llll} a_1 & a_2 & \dots & a_k \\ a_0 & a_1 & \dots & a_{k-1} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{2-k} & a_{3-k} & \dots & a_1 \end{array} \right|_{k\times k},\ D_{2k}=\left|\begin{array}{llll} a_2 & a_3 & \dots & a_{k+1} \\ a_1 & a_2 & \dots & a_{k} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{3-k} & a_{4-k} & \dots & a_2 \end{array} \right|_{k\times k} $$ и полагаем $ a_j=0 $ при $ j<0 $.

Численный эксперимент показал, что сходимость крайне медленная: для корня $ \lambda \approx -1.19258 $ уравнения $ -5-3\,x+x^2=0 $ приближение $ 9 $-ю слагаемыми формулы Уиттекера $ \approx -3.57355 $.

Источник.

Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. М. ИЛ, 1963, cc. 193-196

Теорема [Эйлер]. Для полинома

$$ a_0+C_n^1a_1x+C_n^2a_2x^2+\dots+ C_n^na_nx^n \ $$ с вещественными коэффициентами и только с вещественными корнями выполняются следующие неравенства: $$ a_k^2\ge a_{k-1}a_{k+1} \quad \mbox{при} \ k\in \{1,\dots,n-1\} \, . $$

Висящая цепь висит как цепная линия, а именно $ y=\cosh (x) $. Эта функция удовлетворяет алгебраическому уравнению $$ (y^{\prime})^2-y^2+1 = 0 $$ Это является обычным для других классических задач в вариационном исчислении от одной независимой переменной. Можно спросить: является ли это свойство случайным? Почему цепь на «висит» как $ y=\Gamma(x) $ или как другая «плохая» функция, которая не удовлетворяет ни какому алгебраическому уравнению? В этой статье мы указываем причину, доказывая общую теорему 2.

Эта теорема является прямым следствием теоремы об исключении для дифференциальных уравнений (см. теорему 1), которая имеет следствием, например, утверждение, что аналитическое решение $$ y^{\prime y^{\prime \prime}} + (x^2+1) \sin \left( \frac{e^y+\tan y^{\prime}}{y^{\prime \prime \prime}} \right) + J_0 (x+ y^{\prime \prime }) = - \log x $$ где $ J_0 $ — функция Бесселя, должно удовлетворять некоторому алгебраическому дифференциальному уравнению (АДУ), т.е. уравнению в виде $$ P(x,y,y^{\prime},\dots, y^{(n)}) =0, \quad \mbox{ где } \ P \ \mbox{ --- полином } \, . $$