БУРБАКИ Николá (Bourbaki Nicolas) - собирательный псевдоним, под которым группа математиков во Франции с 1939 г. выступает с попыткой осуществить идею, исходящую от Д.Гильберта, — обозреть различные математические теории с позиций формального аксиоматического метода. В многотомном (и далеком от завершения) трактате Н.Бурбаки «Элементы математики», выходящем с 1939 г., развивается формальная аксиоматическая система, которая, по замыслу авторов, должна охватить если не все, то главнейшие разделы математики как «частные аспекты общей концепции». Изложение носит сугубо абстрактный и формализованный характер, дается лишь логический каркас теорий. Основы изложения составляют так называемые структуры, определяемые посредством аксиом, например структуры порядка, группы, топологические структуры. Способ рассуждения — от общего к частному. Классификация математики, производимая по типам структур, значительно отличается от традиционной. Работает «Семинар Бурбаки», на котором, помимо подготовки трактата, заслушиваются доклады ученых (из разных стран). Группа образовалась в 1937 г. из бывших питомцев Высшей нормальной школы ¹⁾. Численность и точный состав группы не разглашаются.

«Бурбаки Н.» В кн. «Математический энциклопедический словарь». М. изд-во «БСЭ», 1995

Если вы — работающий математик, вы почти наверняка испытали на себе воздействие Бурбаки, по крайней мере по стилю и духу, и, возможно, даже в большей степени, чем осознаете. Но если вы студент, то могли вовсе не слышать о нем, или них. Кем или чем был Бурбаки?

Выберите подходящее. Бурбаки является, или, по крайней мере, являлся:

• открывателем (создателем) понятия математической структуры;
• одним из великих абстракционистских движений XX-го века;
• небольшим, но очень влиятельным сообществом математиков;
• коллективом, не публикующим вот уже 15 лет.

Правильный ответ: все вышеперечисленное, и все четыре - переплетенные нити важной исторической главы. Пора ли писать историю этой главы? Закончилась ли история Бурбаки?

Бурбаки родился в Париже в 1935 когда несколько математиков Педагогического института²⁾, не удовлетворенные преподаваемыми курсами, решились их переделать. Большинство математиков время от времени предпринимали такие же попытки, но размеры неудовлетворенности Бурбаки росли быстро и неограничено. К 1939 году группа, работая как коллектив авторов под псевдонимом Никола Бурбаки, стала публиковать серию книг, нацеленных на преобразование теории и практики самой математики. С самого начала Бурбаки горячо верил в единство и универсальность математики, и посвятил себя демонстрации этого оформлением математики в единое целое. В послевоенные годы Бурбаки превратился из мятежники в респектабельного гражданина.

Внутренние правила группы обеспечивали преемственность: время от времени приглашались к участию молодые математики, а старшие члены уходили в отставку по достижении обязательного «пенсионного возраста» в 50 лет. Сейчас уже сам Бурбаки на 20 лет старше любого своего члена. Долгоиграющий семинар Бурбаки все еще жив и здоров в Париже, но голоса самого Бурбаки - через его книги - не слышно вот уже 15 лет. Услышим ли мы его снова? Способен ли он еще что-то сказать?

Пьер Картье был членом Бурбаки с 1955 по 1983. Немного найдется людей способных объяснить молчание Бурбаки лучше него. Он любезно согласился дать интервью The Mathematical Intelligencer.

Интервью.

Сенешаль: Расскажите, пожалуйста, о собственно Вашем отношении к Бурбаки.

Картье: Насколько я помню, первое знакомство с Бурбаки состоялось в июне 1951. Я был первокурсником Педагогического института, Анри Картан был там профессором математики, и по его просьбе Бурбаки пригласили меня на свое собрание в Пелву, в Альпах … Встреча со всеми этими знаменитыми людьми, которых до этого я видел только издали, произвела на меня сильное впечатление. Я был принят очень свободно. Прошло три-четыре года прежде чем я стал формальным членом [группы]. Результаты, публиковавшиеся в книгах и докладывавшиеся на семинарах, были тесно связаны со студенческими исследованиями, и, я думаю, именно это обстоятельство объясняет громадный успех французской математики того периода. Разумеется, те времена были совершенно другими. Масштабы были меньшими. Тогда защищалось около десятка кандидатских по математике в год, сейчас - триста.

Я был студентом очень провинциального, устаревшего лицея. Некоторые учителя были очень хорошими, но, конечно, далекими от современной науки. Преподававшаяся мне математика была классической геометрией в ее неразвитом, синтетическом виде. Мне повезло с одаренным учителем по физике, так что сначала я хотел стать физиком. Потом я стал студентом лицея Св.Людовика в Париже перед поступлением в Педагогический институт, и брал частные уроки по физике у очень своеобразного учителя, Пьера Эгрэ ³⁾.(Выпускник Морской Академии, он был в 1950 г. ассистентом по физике; впоследствии стал Государственным Секретарем по науке при президенте Жискаре). Обычно хороший студент осваивал программу за два года, я умудрился это сделать за один. Но оба курса, по математике и по физике были совершенно, абсолютно устаревшими. Я вспоминаю, как профессор, читавший в Сорбонне курс Общей физики, торжественно продекларировал: «Господа, в моем курсе нет места тому, что некоторые называют «атомной гипотезой». И это было в 1950, т.е. спустя пять лет после Хиросимы! Так что я пошел к Эгрэ и спросил: «Чем я занимаюсь?» и он ответил: «Ну, разумеется, ты должен получить диплом, но физике я научу тебя по-настоящему.» Этот пример показывает состояние дел во французских университетах того времени. Вы должны иметь это в виду чтобы понять значение Бурбаки. Бурбаки пришел в вакуум. Многие обсуждали причины этого состояния дел, и возвращаться здесь к этому я не хочу. Но, очевидно, обучение науке в начале 50-х было очень плохим. Бурбаки потребовалось пять-шесть лет чтобы изменить эту систему. В 1957-58 гг. эти изменения в Париже почти завершились.

Сенешаль: Но ведь Бурбаки начинал еще в 30-х…

Картье: Первая книга вышла в 1939, но тогда шла война, задержавшая процесс; кроме того, Андрэ Вейль был в Штатах, Клод Шевалье был в Штатах, Лоран Шварц должен был скрываться, потому что был евреем. Бурбаки выжил в войну только в составе Анри Картана и Жана Дьедонне. Но вся проделанная в 30-х работа расцвела в 50-е. Я помню как мы - юные математики - стремились в книжные магазины за новыми книгами. В тот период Бурбаки публиковал один-два тома ежегодно.

Когда я в 1955 стал формальным членом Бурбаки, существовало правило, по которому каждый должен покинуть группу в 50 лет, так что я ушел в 1983, когда мне было почти 51. Я посвятил Бурбаки 30 лет своей жизни и, по крайней мере, треть своей работы. Тогда мы собирались три раза в год, неделю - осенью, неделю - весной, и две недели - летом, что уже составляло месяц тяжелой работы, по 10-12 часов в день. Объем опубликованного — 10 000 страниц, к которым следует прибавить ежегодные 1000-2000 страниц черновиков. Я оцениваю свой взнос в Бурбаки как порядка двухсот страниц в год.

Сенешаль: Сколько человек было тогда в группе?

Картье: Около 12.

Я — типичный представитель третьего поколения. Вы можете считать, что всего было четыре. Первым было поколение отцов: Андрэ Вейль, Анри Картан, Клод Шевалье, Жан Дельсарт и Жан Дьедонне, основавшие группу в тридцатых годах. (Другие, присоединившиеся вначале, вскоре ушли.) Потом было второе поколение, ученых, присоединившихся во время или сразу же после войны: Лоран Шварц, Жан-Пьер Серр, Пьер Самуэль, Жан-Луи Косул, Жан Диксмье, Роджер Годмент и Сэмми Эйленберг. Третье поколение: Арман Борель, Александр Гротендик, Франсуа Брюха, я, Серж Лан, и Джон Тейт.

Сенешаль: Различались ли эти поколения по своим отношениям или взглядам?

Картье: Они были очень различными. Я думаю они становились все более и более прагматичными, и все менее и менее догматичными.

Сенешаль: Как это сказывалось на работе Бурбаки?

Картье: С самого начала трактаты Бурбаки задумывались состоящими из двух частей. Первая, посвященная основаниям, состояла из шести книг: по теории множеств, алгебре, общей топологии, элементарном анализе, топологическим векторным пространствам, и теории интегралов Лебега… Вторая часть… состояла из двух очень удачных серий, по группам Ли и коммутативной алгебре. Просматривая состав Бурбаки второго и третьего поколений, вы поймете что среди них были специалисты мирового масштаба…

Старшее поколение училось математике по-старинке. Они были теми, кто перетасовал математику. Второе поколение уже подверглось новому обучению. Моему поколению, т.е. третьему, уже не нужно было доказывать преимущество новых методов перед старыми поскольку мы уже были, в-основном, обучены в новой идеологии… Так что мы становились все менее и менее догматичными, поскольку нам уже не требовалось ничего доказывать. Сердцевина французской математики сдалась Бурбаки. Бурбаки уже захватил власть, не только в интеллектуальном но и в академическом смысле. Было очевидно, что Бурбаки победил в учебных заведениях…

Просматривая тома по группам Ли, вы увидите, что более поздние содержат главы неожиданные для Бурбаки. Это становилось все более и более очевидным; они содержали таблицы и графики. Я думаю, это было влияние, в-основном, Армана Бореля…

В то время расцветала дифференциальная геометрия, и, конечно, это стало вызовом для Бурбаки. Вы должны помнить, что Бурбаки признавал только одного бога-отца — Эли Картана, и не любил всех других французских математиков 30-х годов. Бурбаки признал Пуанкаре только после долгой битвы. Когда я присоединился к группе в 50-х, было немодно признавать Пуанкаре вовсе. Он был старомоден. Конечно, [впоследствии] мнение о Пуанкаре изменилось вкорне. Но, очевидно, его стиль абсолютно противоположен стилю Бурбаки.

Четвертое поколение — студенты Гротендика. Но тогда Гротендик уже ушел из группы. Он был в ее составе около десяти лет, и ушел разгневанным. Вспоминаю частые стычки. Была также обычная для всех семей борьба поколений. Думаю, что в такой маленькой группке проявляются физиологические особенности обычной семьи. У нас были столкновения между поколениями, между братьями и т.д. Но они не влияли на общую цель Бурбаки, несмотря на их иногда опасный характер. По крайней мере, цель была понятной. Были те, кто не выдерживал психологического климата, например, ушел Гротендик, а также Ланг.

Сенешаль: Оставалась ли цели неизменными во все время, или менялись?

Картье: Они менялись. Первое поколение должно было создать проект из ничего. Они должны были изобрести метод. Потом, в сороковых, можно сказать, что метод уже был прояснен и Бурбаки знал, в каком направлении идти: целью ставилось создание оснований математики. Он должен были подчинить всю математику схеме Гильберта; то, что Ван дер Варден сделал для алгебры, должно было быть осуществлено применительно к остальной математике. Было понятно, что нужно включить. Первые шесть книг Бурбаки заключают в себе базовые знания современного выпускника [университета].

Неправильным оказалось сложившееся у многих мнение, что в этом же стиле нужно и учить. Вы можете считать первые книги Бурбаки энциклопедией математики, содержащей всю необходимую информацию… Если же вы будете брать их в качестве учебников, то это будет катастрофой.

Сенешаль: Осознавали ли Вы это в бытность членом Бурбаки? Понимали ли Бурбаки, что это были не учебники?

Картье: Более или менее, но не так отчетливо, как сейчас. Были некоторые недоразумения на этот счет, думаю, потому что учебников у нас не было. Я хорошо помню, как учил алгебру и топологию. Когда был студентом, то сразу же после выхода новой книги Бурбаки, я покупал ее или брал в библиотеке и изучал ее. Для меня и моего поколения это были учебники. Ошибочным стало то мнение, что это должны были быть учебники для всех. Это было большим бедствием.

Сенешаль: Какие области математики остались вне рассмотрения?

Картье: Прежде всего, анализ, хотя и была выпущена книга по элементарному анализу… В-сущности, кроме этого - ничего: ни по дифференциальным уравнениям в частных производных, ни по вероятности. Ничего по комбинаторике, ничего по алгебраической топологии, ничего по конкретной⁴⁾ геометрии. Бурбаки никогда не касался логики.

Все, связанное с математической физикой, осталось вне книг Бурбаки.

Сенешаль: Относительно физики: было ли это предубеждением, или просто Бурбаки о ней не думал?

Картье: Ну, конечно, у большинства было сильное предубеждение. Вначале я даже считался почти иноверцем среди других членов группы. У меня долго сохранялся интерес к математической физике. Несколько лет назад, после публикации Андрэ Вейлем своих мемуаров, я спросил его: «Ты упоминаешь, что в 1926 г. был в Геттингене… кстати, в Геттингене кое-что случилось в 1926.» Вейль: «А что случилось тогда в Геттингене?» , на что я воскликнул:«Квантовая механика!» А Вейль ответил: «Я не знаю, что это такое». Он был студентом у Гильберта, а Гильберт сам интересовался квантовой механикой; там был Макс Борн, там был Гейзенберг, но, по-видимому, Андрэ Вейль не обратил на это внимания. Недавно я читал публичную лекцию о философии пространства Германа Вейля, и внимательно просматривал всю литературу. Имеется некролог Германа Вейля, написанный Шевалье и [Андрэ] Вейлем. Они превозносят его заслуги, но не упоминают его работ по физике, и даже его трудов по общей теории относительности. По всем параметрам, две лучшие книги Вейля — это именно книги по общей теории относительности и по квантовой механике!

Сенешаль: Последняя публикация Бурбаки относится к 1983 году. Почему он не опубликовал ничего после?

Картье: Этому было несколько причин. Прежде всего столкновение между Бурбаки и его издателем об авторских гонорарах и правах на переводы, столкновение, которое закончилось долгим и неприятным судебным процессом. Когда в 1980 г. вопрос был исчерпан, Бурбаки было разрешено воспользоваться новым издательством. Использовав наработки 70-х годов,… мы были готовы переиздать некоторые наши ранние труды. Мы завершили существующие серии двумя-тремя выпусками, но потом… молчание.

Кроме очевидной цели «окончательного переиздания», Бурбаки пытались в 70-х и 80-х годах выбрать новые направления. Я уже упоминал о неудавшемся проекте по нескольким комплексным переменным. Предпринимались попытки в отношении теории гомотопий, спектральной теории операторов, теоремы об индексе, симплектической геометрии. Но ни один из проектов не пошел дальше предварительного обсуждения.

Бурбаки не смог найти новый выход, потому что его взгляды на математику были догматичными: все должно быть помещено в безопасную оболочку. Это имело смысл для общей топологии и общей алгебры, уже оформившихся к 1950 г. Бóльшая часть людей соглашается с тем, что общие основания математики должны быть выработаны, по крайней мере, если верить в ее единство. Но я теперь верю в то, что это единство должно быть органическим, тогда как Бурбаки защищал структуральную точку зрения.

Я считаю, что 80-е годы стали естественным пределом. Под воздействием Андрэ Вейля, Бурбаки настоял на том, чтобы каждый член уходил в отставку в 50 лет, и в восьмидесятых я как-то, в-шутку, заметил, что Бурбаки сам должен уйти в отставку в этом же возрасте.

Сенешаль: Ну так и получилось.

Картье: Да, я думаю одна из главных задач - создание основ существующей математики - была достигнута. Однако, при таких жестких требованиях, очень трудно включать новые результаты. Если бы не менялись акценты, это было бы еще возможно. Но, разумеется, спустя 50 лет акценты изменились.

Сенешаль: Не добавите еще что-нибудь?

Картье: Андрэ Вейль любил говорить о Zeitgeist, т.е. духе времени. Это не просто совпадение, что Бурбаки прожил от начала 30-х до 80-х, тогда как Советская власть длилась с 1917 до 1989. Андрэ Вейль не любит этого сравнения. Он постоянно повторяет: «Я никогда не был коммунистом!» Существует шутка, что XX-е столетие длилось от Сараево 1914 до Сараево 1989. XX-е столетие, с 1917 до 1989, было столетием идеологии, веком идеологии.

Сенешаль: Под идеологией Вы имеете в виду кальку, которую можно использовать для всех целей и во все времена?

Картье: Конечное решение. Это выражение можно ненавидеть, но человеческий разум считает его достижение возможным. Существует книга Г.Уэлса «Современная Утопия», которую надо бы переиздать. Случайно я прочитал ее во время коллапса Советской системы. Как вы знаете, Уэлс очень сочувствовал Октябрьской революции 1917, он дружил с Советами. Но у него был очень острый ум и историческое предвидение. Хотя он и был потрясен новой эрой, но осознавал, что конечное решение невозможно, и ошибочно предполагать возможность достижения обществом состояния социального равновесия, в котором оно потом пребывало неограниченно долго.

Гильберт, я думаю, отражал этот дух времени. Существует запись его голоса, в книге К.Рида о Гильберте имеется дискета, запись одной речи Гильберта, произнесенной в Германии в 30-х годах. Она очень идеологизирована. Гильберт старел и поэтому его взгляды застывали.

Если вы возьмете манифесты сюрреалистов и введение из Бурбаки, а также другие манифесты того периода, и сравните их, то увидите много общего. Моя дочь переводит сейчас книгу о рождении кинематографа, и в главе об итальянских футуристах содержатся очень похожие утверждения. В науке, искусстве, литературе, политике, экономике, социальных сферах, был одинаковый дух. Целью Бурбаки было создание новой математики. Он не ссылался ни на какие другие математические источники. Бурбаки был самодостаточен. Разумеется, в то время и коммунисты в Советском Союзе провозглашали то же самое. Теперь мы знаем, что это - ложь, и что вожди знали о ней. Нет, конечно, Бурбаки не лгал, но дух, дух был тем же. Это было время идеологий: Бурбаки должен был стать новым Евклидом, и написать учебник для двух последующих тысячелетий.

Сенешаль: Почему в большинстве книг Бурбаки нет никаких наглядных иллюстраций?

Картье: Бурбаки были пуританами, а пуритане - категорические противники изображений сутей своей веры. В группе Бурбаки подавляющее большинство составляли протестанты и евреи. А вы знаете, что французские протестанты духовно очень близки евреям… Мы - люди Библии, Ветхого Завета, а многие французские гугеноты больше любят именно Ветхий Завет, нежели Евангелие. Иногда мы поклоняемся скорее Йегове, чем Христу.

Итак, каковы причины? Разумеется, общая философия, как она была создана Кантом. Бурбаки - духовный ребенок немецкой философии. Бурбаки был задуман для развития и пропаганды немецких философских взглядов в науке. Андрэ Вейль всегда любил немецкую науку и всегда цитировал Гаусса. Все эти люди, со своими персональными вкусами и взглядами, были сторонниками немецкой философии.

И была еще идея о противостоянии искусства и науки. Искусство преходяще и смертно потому что обращается к эмоциям, визуальному восприятию, и неопределенным аналогиям. Но я думаю, это тоже часть евклидовой традиции. У Евклида вы тоже встретите рисунки, но известно, что большинство из них было добавлено позднее, после Евклида. Большинство рисунков в оригинале - абстрактны. Вы делаете заключения о некоторых пропорциях и рисуете отрезки, но они не обязательно должны быть геометрическими отрезками, а лишь только представлениями некоторых абстрактных понятий. Еще Лагранж в своем учебнике по механике гордо заявлял: «В моей книге нет рисунков!» Аналитический дух был частью французской традиции и частью немецкой традиции. И я думаю, что именно влияние таких людей как Рассел, провозглашавшего возможность формального доказательства любого факта, привело к тому, что геометрическая интуиция не считалась заслуживающей доверия при доказательствах.

И, опять же, бурбакистские абстракции и презрение к наглядности были частью общей моды, проявление которой в тот период видно в тенденциях к абстракционизму в музыке и живописи.

Сенешаль: Любили ли члены Бурбаки абстрактную музыку или абстрактную живопись?

Картье: Можно сказать, что вкусы их были, скорее, буржуазны. Образованные буржуа, но не мещане. Например, Картан и Дьедонне любили музыку и музицировали, но только классику. Картан, при его протестантском воспитании, очень любил Баха, а Дьедонне хорошо играл на фортепьяно, на любительском уровне, но достаточно хорошо, и имел великолепную память. Он знал наизусть сотни нотных страниц…

Интересно, что революционеры в математике, не были революционерами в других областях. Я думаю, что единственным человеком из состава Бурбаки, действительно понимавшим связь идеологии Бурбаки с другими идеологиями, был Шевалье…

Может быть, именно из-за своей чувствительности, Шевалье стал в 70-х первым, кто осознал конец долгого исторического периода…

Сенешаль: Не могли бы Вы сформулировать основную причину упадка Бурбаки?

Картье: Как я уже сказал, в 80-х уже не было конкретной цели, кроме долгой легальной битвы…

В некотором смысле Бурбаки — динозавр, голова которого слишком далека от хвоста…

Но, конечно, были и внешние причины. Математический мир тоже изменился. Всем известно, что то, чего никогда не мог достичь Сталин своей армией, - завоевания мира, было достигнуто в математике при развале Советского Союза. Русские математики привнесли иной стиль на Запад, иной взгляд на задачи, новую кровь.

Это иное время, с другими ценностями. Я не жалею: в XX-м столетии было интересно жить. Но оно закончилось.

[1]. Дьедонне Ж. О деятельности Бурбаки. Успехи мат. наук. 1973, Т. 28, вып.3 , С.205-216.

[2]. Замков А. Николай Бурбаки — математический феномен XX века. Ж-л «Техника молодежи»

[3]. Senechal M. The Continuing Silence of Bourbaki — An Interview with Pierre Cartier, June 18,1997. The Mathematical Intelligencer, 1998, 20(1):22-28.