Вспомогательная страница к разделу ☞ СИММЕТРИЧНАЯ МАТРИЦА

Теорема. Существует ортогональная матрица $ P_{} $, приводящая симметричную матрицу $ A_{} $ к диагональному виду:

$$ P^{-1}AP=P^{^{\top}}AP= \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \mathbb O \\ & \lambda_2 & & \\ && \ddots & \\ \mathbb O&& & \lambda_n \end{array} \right). $$

Доказательство особенно просто в случае когда все собственные числа $ \lambda_1,\dots, \lambda_n $ различны. На основании теоремы 1 матрица $ A_{} $ диагонализуема над множеством вещественных чисел и на основании теоремы 2 матрица $ P $, приводящая к диагональному виду, может быть выбрана ортогональной.

Для общего случая доказательство производится индукцией по порядку $ n $ матрицы $ A $. При $ n=1 $ утверждение тривиально. Пусть оно справедливо для любой симметричной матрицы порядка $ n-1 $. По теореме 1 у матрицы $ A $ существует хотя бы одно собственное число $ \lambda_1 \in \mathbb R $, и ему соответствует хотя бы один собственный вектор-столбец $ {\mathfrak X}_1 \in \mathbb R^n $: $$ A {\mathfrak X}_1 =\lambda_1 {\mathfrak X}_1 \quad \iff \quad {\mathfrak X}_1^{\top} A^{\top} = \lambda_1 {\mathfrak X}_1^{\top} \, . $$ Будем считать этот вектор нормированным $ |{\mathfrak X}_1|=1 $. Рассмотрим произвольную ортогональную матрицу $$Q= \left[ {\mathfrak X}_1,Q_2,\dots,Q_n \right] \ , \quad \langle {\mathfrak X}_1,Q_2 \rangle=0, \dots , \langle {\mathfrak X}_1,Q_n \rangle=0, \quad \langle Q_j,Q_k \rangle=\delta_{jk} \ , $$ дополнив $ {\mathfrak X}_1 $ до ортонормированного базиса $ \mathbb R^n $. Имеем: $$ Q^{^{\top}} A Q = \left[ \begin{array}{c} {\mathfrak X}_1^{^{\top}} \\ Q_2^{^{\top}} \\ \vdots \\ Q_n^{^{\top}} \end{array} \right]A \left[ {\mathfrak X}_1,Q_2,\dots,Q_n \right]= \left[ \begin{array}{c} {\mathfrak X}_1^{^{\top}} \\ Q_2^{^{\top}} \\ \vdots \\ Q_n^{^{\top}} \end{array} \right] \left[A{\mathfrak X}_1,AQ_2,\dots,AQ_n \right]= $$ $$ = \left[ \begin{array}{c} {\mathfrak X}_1^{^{\top}} \\ Q_2^{^{\top}} \\ \vdots \\ Q_n^{^{\top}} \end{array} \right]\left[\lambda_1 {\mathfrak X}_1,AQ_2,\dots,AQ_n \right]= \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1 {\mathfrak X}_1^{^{\top}}{\mathfrak X}_1 & {\mathfrak X}_1^{^{\top}} AQ_2 & \dots & {\mathfrak X}_1^{^{\top}} AQ_n \\ \lambda_1 Q_2^{^{\top}}{\mathfrak X}_1 & Q_2^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_2^{^{\top}} AQ_n \\ \dots &&& \dots \\ \lambda_1 Q_n^{^{\top}}{\mathfrak X}_1 & Q_n^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_n^{^{\top}} AQ_n \end{array} \right]= $$ $$ = \left( \begin{array}{cl} \begin{array}{l} \lambda_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} & \begin{array}{c} 0 \quad \dots \quad 0 \\ \left[ \begin{array}{c} \\ \quad \widetilde A \quad \\ \\ \end{array} \right] \end{array} \end{array} \right) \qquad npu \ \widetilde A= \left[ \begin{array}{ccc} Q_2^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_2^{^{\top}} AQ_n \\ \dots && \dots \\ Q_n^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_n^{^{\top}} AQ_n \end{array} \right] $$ — симметричной матрице порядка $ n-1 $.

Очевидно, что $ \det \, (A-\lambda \, E) \equiv (\lambda_1 - \lambda) \det \, (\widetilde A-\lambda \, E) $ и спектр матрицы $ \widetilde{ A} $ получается из спектра $ A $ отбрасыванием собственного числа $ \lambda_1 $. По индукционному предположению для матрицы $ \widetilde{A} $ существует ортогональная матрица $ \widetilde Q_{(n-1)\times (n-1)} $, приводящая ее к диагональному виду: $${\widetilde Q}^{^{\top}} \widetilde{A} {\widetilde Q}= \left( \begin{array}{ccc} \lambda_2 & & \mathbb O \\ & \ddots & \\ \mathbb O& & \lambda_n \end{array} \right)_{(n-1) \times (n-1)} \ . $$ Но тогда матрица $$Q_1 = \left( \begin{array}{cl} \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} & \begin{array}{c} 0 \quad \dots \quad 0 \\ \left[ \begin{array}{c} \\ \quad \widetilde{Q} \quad \\ \\ \end{array} \right] \end{array} \end{array} \right) $$ тоже ортогональная и $$Q_1^{^{\top}} \left( \begin{array}{cc} \begin{array}{l} \lambda_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} & \begin{array}{c} 0 \quad \dots \quad 0 \\ \left[ \begin{array}{ccc} & & \\ & \widetilde{A} & \\ & & \end{array} \right] \end{array} \end{array} \right)Q_1= \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \mathbb O \\ & \lambda_2 & & \\ && \ddots & \\ \mathbb O&& & \lambda_n \end{array} \right). $$ Матрица $ P=QQ_1 $ является искомой матрицей из теоремы. Она будет ортогональной как произведение двух ортогональных матриц. ♦

Источники