определяются как коэффициенты разложения функции $$ u(x)=\frac{x}{e^x-1} $$ в ряд Тейлора при $ x=0 $. Поскольку $$ \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1 $$ то $ u(0)=1 $.

Дифференцируем тождество $$ x\equiv ue^x-u $$ по $ x_{} $: $$ 1\equiv e^x \frac{d\, u}{d\, x} + u(x) e^x - \frac{d\, u}{d\, x} \, . $$ Дифференцируем еще раз: $$ 0\equiv e^{x} \frac{d^2 u}{d\, x^2}+2\, e^x \frac{d\, u}{d\, x} +u(x) e^x - \frac{d^2 u}{d\, x^2} \, . $$ Подставляем $ x=0_{} $: $$ 0 = 2\, u^{\prime} (0) + u(0) \quad \Rightarrow \quad u^{\prime} (0)=-\frac{1}{2} \, . $$ Дифференцируя $ n>2 $ раз, получим с помощью формулы Лейбница дифференцирования произведения функций $$\left(F_1 F_2 \right)^{(k)}=\sum_{j=0}^k C_k^j F_1^{(k-j)}F_2^{(j)} =F_1^{(k)}F_2+ C_k^1F_1^{(k-1)}F_2^{\prime} + C_k^2F_1^{(k-2)}F_2^{\prime \prime }+ \dots +F_1F_2^{(k)} $$ следующее тождество $$ 0\equiv e^x \frac{d^n u}{d\, x^n}+ne^x \frac{d^{n-1} u}{d\, x^{n-1}}+ C_{n}^2 e^x \frac{d^{n-2} u}{d\, x^{n-2}}+C_{n}^3 e^x \frac{d^{n-3} u}{d\, x^{n-3}}+\dots+ue^x - \frac{d^{n} u}{d\, x^{n}} \, , $$ в котором $ \displaystyle C_n^k $ означает биномиальный коэффициент. При $ x_{}=0 $ имеем из него соотношение $$ 0=n u^{(n-1)}(0)+ C_{n}^2 u^{(n-2)}(0)+\dots+ n u^{\prime} (0) + u(0) \ npu \ u(0)=1 \ , $$ позволяющее вычислить значение любой производной, если все предыдущие уже вычислены.

Приведем значения первых производных: $$ u(0)=1,\ u^{\prime} (0)=-\frac{1}{2},\ u^{\prime \prime} (0)=\frac{1}{6},\ u^{\prime \prime \prime} (0)=0,\ u^{(4)} (0)=-\frac{1}{30},\ u^{(5)} (0)=0, $$ $$ u^{(6)} (0)=\frac{1}{42},\ u^{(7)} (0)=0,\ u^{(8)} (0)=-\frac{1}{30},\ u^{(9)} (0)=0,\ u^{(10)} (0)=\frac{5}{66},\dots $$ Все производные нечетного порядка, за исключением первой, равны нулю. Это можно установить непосредственно: функция $$ \frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2} $$ является четной функцией по $ x_{} $. Величина $ u^{(n)} (0) $ называется n-м числом Бернулли¹⁾ и обозначается $ B_n $: $$B_0= 1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6},\ B_3 = 0,\ B_4 = -\frac{1}{30}, B_5 = 0, B_6 = \frac{1}{42},\ $$ $$ B_7 = 0,\ B_8 = -\frac{1}{30}, B_9=0,\ B_{10}=\frac{5}{66},\ B_{11}=0,\ B_{12}=-\frac{691}{2730}, \dots $$ Таким образом, получаем: $$ \frac{x}{e^x-1}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{B_j}{j!} x^{j}=1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{720}x^4+\frac{1}{30240}x^6+\dots $$

Полином Бернулли $ \mathbf B_n(x) $ при $ n\in \{0,1,2,\dots \} $ — это единственный полином степени $ n $, удовлетворяющий тождеству $$ \int_{x}^{x+1} \mathbf B_n(t) \, d\, t \equiv x^n \, . $$ Связь с числами Бернулли: $ \mathbf B_n(0)= B_n $.

Дифференцирование определяющего уравнения по $ x $ дает $$ \mathbf B_n(x+1) - \mathbf B_n(x) \equiv n x^{n-1} $$ откуда получаем тождество $$\ \int_{x}^{x+1} \frac{d\, \mathbf B_n(t)}{d\, t} d\, t \equiv n \int_{x}^{x+1} \mathbf B_{n-1}(t) \, d\, t \, . $$ А отсюда вытекает формула $$\mathbf B_n^{\prime}(x) \equiv n \mathbf B_{n-1}(x) \, , $$ позволяющая рекурсивно вычислять эти полиномы. $$ \mathbf B_n(x) =\sum_{k=0}^n C_n^k B_k x^{n-k} \, . $$

Числа Бернулли появляются в вычислении суммы одинаковых степеней целых чисел: $$ \displaystyle S_k(n)= 1^k+2^k+\dots+n^k= \sum_{j=1}^n j^k $$ при $ n \in \mathbb N $ и $ k\in \{0,1,2,\dots \} $.

Полагаем $$ \phi(x)=1+e^x+e^{2x}+\dots+e^{nx} $$ дифференцируем это уравнение $ k_{} $ раз: $$ \phi^{(k)}(x)=e^x+2^ke^{2x}+\dots+n^ke^{nx} $$ При $ x=0 $ имеем $$ \phi^{(p)}(0)=S_k(n) $$ С другой стороны $$ \phi(x)=\frac{e^{(n+1)x}-1}{e^x-1} $$ Если правую часть развернуть в ряд по степеням $ x_{} $, то $ \phi^{(k)}(0) $ будет произведением коэффициента при $ x^k $ на $ k! $. А так как $$ \frac{e^{(n+1)x}-1}{x}=(n+1)+\frac{(n+1)^2x}{2!}+\frac{(n+1)^3x^2}{3!}+ \dots , $$ $$ \frac{x}{e^x-1}=1-\frac{1}{2}x+\frac{B_1}{2!}x^2-\frac{B_2}{4!}x^4+ \frac{B_6}{6!}x^6- \dots , $$ то перемножив эти два уравнения, получим коэффициент при $ x^{k} $ равным $$ \frac{n+1}{1} \cdot \frac{B_k}{k!}+\frac{(n+1)^2}{2!} \cdot \frac{B_{k-1}}{(k-1)!}+\frac{(n+1)^3}{3!} \cdot \frac{B_{k-2}}{(k-2)!}+\dots+ \frac{(n+1)^{k+1}}{(k+1)!} \cdot \frac{B_{0}}{1!} \, . $$ Таким образом: $$ S_k(n)=\frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k C_{k+1}^{k+1-j} B_j (n+1)^{k+1-j} = $$ $$ =\frac{1}{k+1} \Bigg[ (n+1)^{k+1} - \frac{k+1}{2} (n+1)^{k} + \frac{(k+1)k}{12} (n+1)^{k-1} - $$ $$ -\frac{(k+1)k(k-1)(k-2)}{720} (n+1)^{k-3} + \dots \Bigg] \, . $$

Алгоритм вычисления чисел Бернулли, составленный Адой Лавлейс в 1843 г. для машины Чарльза Беббиджа, считается первой в истории компьютерной программой. См. ☞ ЗДЕСЬ.

[1]. Бертранъ Ж. Дифференцiальное исчисленiе. СПб. Изд-во «Наука и жизнь», 1911