Основное
Вспомогательная страница к разделу ☞ ПОЛИНОМ
Можно ли использовать формулы Виета для решения уравнения?
Выпишем их для полинома $ x^3-3\,x + 1 $: $$ \left\{ \begin{array}{ccr} \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3&=&0, \\ \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3&=&-3,\\ \lambda_1\lambda_2\lambda_3&=&-1. \end{array} \right. $$ Из первого уравнения выразим $ \lambda_3 $: $$ \lambda_3 =- \lambda_1- \lambda_2 \ , $$ подставим в два оставшихся: $$ -\lambda_1^2-\lambda_2^2-\lambda_1\lambda_2 +3=0, \ -\lambda_1^2\lambda_2-\lambda_1\lambda_2^2+1 = 0 \ . $$ Получили систему из двух уравнений, которую можно решить следующими элементарными соображениями. Представим первое получившееся уравнение в виде: $$ -(\lambda_1+\lambda_2)^2+\lambda_1\lambda_2+3 = 0, $$ выразим из него $ \lambda_1\lambda_2 $ и подcтавим в последнее уравнение: $$ -(\lambda_1+\lambda_2)^3+3\,(\lambda_1+\lambda_2)+1 = 0 \ . $$ Если теперь вспомнить, что $ \lambda_1+\lambda_2=-\lambda_3 $, то приходим к уравнению $$ \lambda_3^3-3\,\lambda_3+ 1=0, $$ абсолютно совпадающему с исходным. Таким, образом, формулы Виета не дают способа решения уравнения; попытки решения системы уравнений Виета иными методами (например, применением результанта ) могут привести даже к усложнению исходной задачи!