Теорема. Корни полинома

$$ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n \in \mathbb C[x] $$ являются непрерывно дифференцируемыми функциями коэффициентов за исключением тех наборов значений коэффициентов, которые определяют кратные корни.

Доказательство. Воспользуемся формулами Виета: $$ \sum_{1 \le j\le n} \lambda_j = \lambda_1+ \dots+ \lambda_n= -a_1, $$ $$ \sum_{1\le j_1<j_2\le n} \lambda_{j_1} \lambda_{j_2}= \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_3 +\dots + \lambda_2 \lambda_3 + \dots+ \lambda_{n-1}\lambda_n= a_2, $$ $$ \sum_{1\le j_1<j_2<j_3\le n} \lambda_{j_1} \lambda_{j_2} \lambda_{j_3}= \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3+ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_4 + \dots+ \lambda_{n-2} \lambda_{n-1} \lambda_n = -a_3, $$ $$ \dots $$ $$ \lambda_{1} \lambda_{2}\times \dots \times \lambda_{n}= (-1)^{n} a_{n} .$$ Эти формулы можно рассматривать как отображение $ \mathbb C^n \mapsto \mathbb C^n $: каждому набору корней $ (\lambda_{1}, \lambda_{2},\dots, \lambda_{n}) $ соответствует единственный набор коэффициентов $ (a_1,\dots,a_n) $. Для доказательства существования обратного отображения — т.е. выражения из формул Виета корней как функций коэффициентов: $$ \begin{array}{c} \lambda_1 = F_1(a_1,\dots,a_n), \\ \lambda_2 = F_2(a_1,\dots,a_n), \\ \dots \\ \lambda_n = F_n(a_1,\dots,a_n) \end{array} $$ — достаточно показать, что якобиан левых частей формул Виета отличен от нуля; и в этом случае функции $ F_1,\dots, F_n $ будут непрерывно дифференцируемыми. Обозначим $ f_{1},f_2,\dots,f_n $ левые части формул Виета, т.е. элементарные симметрические полиномы от корней. Можно доказать (см. ☞ ЗДЕСЬ ), что якобиан $$ \frac{D(f_1,\dots,f_n)}{D(\lambda_1,\dots,\lambda_n)}=\prod_{1\le j < k \le n} (\lambda_k-\lambda_j) $$ и отличен от нуля при выполнении условия теоремы. ♦

Доказательство существенно переделано из

Шилов Г.Е. Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных). Части 1-2 . М. Наука, 1972, c. 80-83