1. Верно ли равенство $$ \operatorname{HOD}(A, \operatorname{HOK}(B,C))=\operatorname{HOK}(\operatorname{HOD}(A,B),\operatorname{HOD}(A,C)) \ ? $$

2. Придумать признак делимости на число $ 91 $.

3. [1] Доказать, что каждый член последовательности $$ 49,\ 4489,\ 444889,\ 44448889, \dots, \underbrace{44\dots 44}_{n}\underbrace{88\dots 89}_{n} $$ является полным квадратом.

4. [2] В десятичной записи $ 12 $-значного числа $ A_{} $ цифры $ 2_{} $ и $ 9_{} $ встречаются по два раза, а остальные — по одному разу. Может ли число $ A_{} $ быть полным квадратом?

5. Пусть число $ A_{} $ чётно. В каком случае оно может быть факторизовано по методу Ферма?

6. Доказать, что числа $ \{u_j\} $ и $ \{v_j\} $ из пункта "Линейное представление НОД" удовлетворяют равенству $$ u_j v_{j-1} - u_{j-1}v_j =(-1)^{j} \, . $$

[1]. Хонсбергер Р. Математические изюминки. М.Наука. 1992, с.81 (Содержится также и в сборниках задач дореволюционных гимназий.)

[2]. Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбуд С.И. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. М.Просвещение. 1990