Инструменты сайта


"Школьная" математика

Математические разделы в учебных курсах дореволюционных гимназий

Выделил разделы, которые исключены из современных школьных программ; разделы входили в курс школьной математики еще, по крайней мере, в 1938 г.[1].

  • Проценты (в том числе сложные)
  • Действия с радикалами, в том числе освобождение от иррациональностей в знаменателях дробей
  • Пределы, ряды

С геометрией пока не разбирался, но по задачам можно оценить «глубину деградации» за прошедшее столетие…

§ Формулировки последующих задач приведены в вариантах источников: орфографию не менял, в систему СИ не переводил.

Ариθметика

?

На содержание $ 45 $ человек издержано в $ 56 $ дней $ 2040 $ руб.; сколько нужно издержать на $ 75 $ человек в $ 70 $ дней?

?

Показать, что разность между каким-нибудь числом и числом, состоящим из тех же цифр, как первое, но написанных в обратном порядке, делится без остатка на $ 9_{} $.

?

Найти сумму остатков от деления $ 7263 $ на $ 5_{} $ , $ 85461_{} $ на $ 9_{} $, $ 13025 $ на $ 25_{} $, $ 1237 $ на $ 10_{} $, $ 28003_{} $ на $ 100_{} $, не производя деления чисел.

?

Доказать, что $ \displaystyle \frac{23}{75}=\frac{2323}{7575}=\frac{232323}{757575}=\dots $

Комбинаторика и биномъ Ньютона

?

Сколько можно провести замкнутых ломаных линий через $ n_{} $ точек на плоскости, если эти точки расположены так, что между ними нет трех точек, лежащих на одной прямой.

?

Чему равна сумма всех чисел, которые можно получить, делая всевозможные перестановки из цифр $ 0,1,3,5,7 $.

Алгебра

?

Доказать, что если прибавить какое-нибудь положительное число к обоим членам дроби1), то дробь приблизится к единице.

?

Доказать, что если сложить числителей и знаменателей двух разных дробей, то полученная дробь будет заключаться между данными дробями.

?

В какой системе счисления

  • число $ 73 $ изображается $ 111 $,
  • число $ 157 $ изображается $ 111 $,
  • число $ 65793 $ изображается $ 10000000100000001 $,
  • число $ 1333 $ изображается $ 10101 $?
?

Дано $ 487=964 $; по каким системам счисления могут быть написаны эти числа?

?

Какое число при делении на $ 7,13,4 $ дает остатки $ 2,9,1 $ ?

?

Какие числа при делении на $ 3,7,11,13 $ дают остатки $ 1,6,10,12 $ ?

?

Из скольких цифр состоит $ 6^{5^4} $, $ 4^{5^6} $, $ 5^{4^6} $, $ 6^{4^5} $ ?

?

Доказать, что $ x^5+y^5-x^4y-xy^4>0 $ при $ x>0 $ и $ y>0 $.

?

Решить систему уравнений

  • $ x^2+xy+y^2=37,\ x^2+xz+z^2=28,\ y^2+yz+z^2=19 $;
  • $ xy^2z^3=4725,\ yz^2x^{-1}=45/7,\ zx^{-2}y^{-1}=3/245 $.
?

Из уравнений $ x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=d^{-1} $ и $ ax^3=by^3=cz^3 $ определить $ ax^2+by^2+cz^2 $.

?

$ n_{} $ прямых линий пересекаются в одной точке, образуя между собой углы $ =\alpha $. Из какой-нибудь точки одной линии опускают перпендикуляр на соседнюю линию; из конца этого перпендикуляра опускают перпендикуляр на следующую линию и т.д. Определить длину образующейся бесконечной ломаной линии, если длина первого перпендикуляра $ =a $.

?

Определить $ x+3\,x^2+x^3+3\,x^4+x^5+3\,x^6+\dots $ при $ |x|<1 $.

?

Найти коэффициент при $ x^{n-1} $ в уравнении, каждый корень которого на $ 1_{} $ меньше корня уравнения $ x^n+x+1 =0 $.

?

При каком условии уравнение $ x^n-1=0 $ имеет корни вида $ a+b\mathbf i $ и $ b+a \mathbf i $.

Последовательности и ряды

?

Найти сумму чисел $$ 1+11+111+1111+\dots+\overbrace{111\dots 11}^n \ . $$

?

Дана геометрическая прогрессия $ a_1,a_2,\dots,a_n $. Определить чему равна сумма

$$ \mathbf a)\ S=\frac{1}{a_1^2-a_2^2}+\frac{1}{a_2^2-a_3^2}+\frac{1}{a_3^2-a_4^2}+\dots+\frac{1}{a_{n-1}^2-a_n^2} ; $$ $$ \mathbf b)\ S=\frac{1}{a_1^k+a_2^k}+\frac{1}{a_2^k+a_3^k}+\frac{1}{a_3^k+a_4^k}+\dots+\frac{1}{a_{n-1}^k+a_n^k} . $$

?

Суммировать ряд

$$ \left(x+\frac{1}{x} \right)^2+\left(x^2+\frac{1}{x^2} \right)^2+\dots+ \left(x^n+\frac{1}{x^n} \right)^2 \ . $$

?

Суммировать бесконечный ряд

$$ 1+x+y+x^2+xy+y^2+x^3+x^2y+xy^2+y^3+\dots+ (x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+\dots+y^n)+\dots $$ при $ |x|<1, \ |y|<1 $.

?

Дан ряд, составленный по закону $ a_n=2a_{n-1}-1 $, причем $ a_1=1 $. Найти $ a_{n} $.

?

Дан ряд, составленный по такому закону, что $$ u_{n+1}=u_n+u_{n-1}, \quad \mbox{ причем } \quad u_1=1,u_2=2 . $$ Доказать, что a) $ u_{2n}=u_n^2+u_{n-1}^2 $; b) $ \left(u_n\right)^2=u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^n $.

?

В круг вписан квадрат; в него вписан круг; в новый круг вписан опять квадрат и т.д. до бесконечности; определить предел суммы площадей сегментов.

Геометрия

Задачи на построение

?

Построить треугольник

  • по данной стороне, углу к ней прилежащему и сумме двух других сторон;
  • по данному его периметру и углам;
  • по данной стороне и медианам двух других сторон;
  • по данному основанию, высоте на это основание и медиане одной из двух других сторон;
  • по данному основанию, радиусу круга описанного и отношению двух других сторон.
?

Построить трапецию по данным четырем ее сторонам.

?

Описать окружность,

  • касающуюся данной прямой в данной точке и данной окружности;
  • проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.
?

Найти точку, из которой три отрезка данной прямой $ AB, BC $ и $ CD $ были бы видны под равными углами.

?

Найти в треугольнике такую точку, чтобы перпендикуляры, опущенные из нее на стороны, находились в данном отношении $ m:n:p $.

?

В данный круг вписать прямоугольник с данной площадью $ a^{2} $.

?

Разделить треугольник пополам прямою, проходящей через данную точку на одной из его сторон.

?

Построить равносторонний треугольник, равновеликий данному треугольнику.

Планиметрия

Стереометрия

Экономико-социальные задачи

?

Домовладельцы должны были платить в Думу седьмую часть получаемого с домов дохода; впоследствии же требовалось платить шестую часть. На сколько домовладельцы должны увеличить плату за квартиры, чтобы получать столько же чистого дохода, как прежде?

?

Три деревни должны внести $ 594 $ руб. податей пропорционально числу жителей. Сколько должна внести каждая, если число жителей первой относится к числу жителей второй как $ 3:5 $, а число жителей второй к числу жителей третьей как $ 8:7 $?

?

Для отопления дома назначено по смете в месяц несколько саженей дров определенной цены. В первый месяц дров вышло $ 5_{} $-ю саженями больше, чем было назначено, и хотя цена их была рублем меньше сметной, но оказалась передержка в $ 10_{} $ руб. Во второй месяц дров вышло $ 2_{} $ саженями меньше, чем было назначено, но цена их была рублем дороже сметной, и потому также было передержано $ 10_{} $ руб. Сколько саженей дров положено в месяц по смете и какая была назначена цена им?

?

Некто купил дом с обязательством платить за него в течение $ 20 $ лет по $ 2200 $ руб., считая по $ 5_{} \% $. Сколько стоит дом за наличные деньги?

?

Некто выдал вексель в 2750 руб. на год, но расчитался раньше срока, и при учете в $ 8_{} \% $ заплатил 2695 руб.; за сколько месяцев до срока он уплатил по векселю?

?

Число жителей одного города постоянно возрастало в одном отношении, и в течение четырех лет возросло с $ 10000 $ до $ 14641 $. На какую часть оно возрастало ежегодно?

?

A и B внесли для торговли $ 8\,500 $ руб.; капитал A был в обороте $ 6_{} $ месяцев, а B — $ 9_{} $ месяцев; по окончании дела A и B получили по $ 6\, 000 $ руб. Определить капитал каждого.

?

Четверо играют в карты, с тем что проигравший должен заплатить прочим столько, сколько они имели перед сыгранной партией. После четырех партий, проигранных каждым поочередно, у каждого стало по $ 32 $ руб. Сколько было у каждого до игры?

?

Одна дама часто встречала у церкви троих нищих — старика, старуху и девочку; однажды она сама не могла идти в церковь, а послала своего сына и дала ему 52 коп., сказав, что если у церкви будет старик и старуха, то старику он должен дать $ 3/4 $ денег, а старухе $ 1/4 $; если же он встретит старуху и девочку, то он должен дать старухе $ 3/4 $, а девочке остальное. У церкви оказались все трое нищих; по скольку надо дать каждому?

?

При выборе директора акционерного общества $ 1/16 $ присутствовавших избирателей отказались подавать голос, и из двух кандидатов один, поддерживаемый $ 19/40 $ всех присутствовавших, выбран большинством $ 5_{} $ голосов. Сколько было голосов за него?

?

Некто на $ 3400 $ руб. купил $ 8_{} $ акций одной железной дороги и $ 12_{} $ другой. Через месяц первые поднялись на $ 15_{} $ руб., а вторые на $ 25_{} $ руб., и продавши половину первых и все вторые, он не вернул только $ 140 $ руб. По скольку он платил за акцию?

Задачи дореволюционных вступительных экзаменов в институты C.-Петербурга

§ Обозначения институтов:
ГИ — Гражданских Инженеров2), Гор — Горный, Л — Лесной, П — Путей Сообщения, Т — Технологический, Э — Электротехнический.

Сделать рациональным знаменатель следующей дроби:

Т

$ \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} $,

Л

$ \displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}} $.

Э

Перемножить выражения $ (x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1) $.

Найти частное от деления

Т

$ (x^{6m}-y^{6n}):(x^m+y^n) $;

ГИ

$ (x^6+1):(x^2+1) $.

Разложить на множители следующие выражения

Т

$ b^2c^2+bc-12 $;

ГИ

$ 2\,x^4+1 $.

Э

Разложить на рациональные множители $ 64\,x^6-729 $.

Извлечь квадратный корень из многочлена

Л

$ 4\,x^4-4\,x^3+13\,x^2-6\,x+9 $;

Л

$ 4\,a-12\, a^{1/2}b^{1/3}+16\,a^{1/2}c^{1/4}+9\,b^{2/3}-24\,b^{1/3}c^{1/4}+16\,c^{1/2} $ .

Найти предел выражения

Т

$ \sqrt[n]{3}\cdot \sqrt[2n]{3}\cdot \sqrt[4n]{3} \cdot \sqrt[8n]{3} \cdot \dots $ ,

Л

$ \left[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}+ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\times\dots}}}} \right]^2 $.

Решить уравнения с одним неизвестным:

Т

$ \sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x} - 2=0 $;

ГИ

$ 2\,x \sqrt[3]{x} - 3\, x \sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{x}}=20 $.

Решить системы уравнений с двумя неизвестным:

Т

$ x+y=10, \quad \sqrt{\displaystyle \frac{x}{y}}+ \sqrt{\displaystyle \frac{y}{x}}= \displaystyle \frac{5}{2} $;

Т

$ (3\,x+4\,y)(7\,x-2\,y)+3\,x+4\,y=44,\quad (3\,x+4\,y)(7\,x-2\,y)-7\,x+2\,y=30 $;

Э

$ xy+x+y=11,\ x^2y+xy^2=30 $;

Т

$ \displaystyle \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18, x+y=12 $;

Л

$ x+y+\sqrt{xy}=14,\quad x^2+y^2+xy=84 $.

Решить показательные и логарифмические уравнения

Э

$ 2^{x^2-6\,x-5/2} = 16 \sqrt{2} $,

Т

$ 3^{\sqrt{x}}=\sqrt[x]{6561} $,

ГИ

$ \left[ 5^{x^2+x-2} \right]^{3-x}=1 $,

Т

$ 4^x-5\cdot 2^x+6=0 $,

ГИ

$ \log_2 \log_2 \log_2 x = 0 $

Э

$ \log_x 5 \sqrt{5}-1.25=\left( \log_x \sqrt{5}\right)^2 $.

Решить системы уравнений

Т

$ x^y=32,\quad \sqrt[y]{1024}=2\, x $,

Т

$ \left(a^x\cdot a^y \right): a^5=a^2,\quad \left(a^x \right)^y=\left(a^{-6}\right)^{-2} $,

Т

$ xy=8,\quad (2\,x)^{\log_2 y}=8 $.

Решить неравенства

П

$ x^4-15\,x^2-16 < 0 $,

П

$ \displaystyle \frac{(x^2-1)^2(x+2)}{(x+1)} > 0 $,

П

$ (x-2)\sqrt{x^2+1}\ge x^2+2 $.

§ В следующих задачах на прогрессии обозначено:
$ u_{j} $ — $ j $-й элемент, $ S_{n} $ — сумма $ n_{} $ членов, $ d_{} $ — разность арифметической, $ q_{} $ — знаменатель геометрической прогрессии.

Т

В арифметической прогрессии $ u_1=1, S_n=8, S_{2n}=40 $. Найти $ n_{} $.

Т

В арифметической прогрессии $ u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n+1}=25,\ u_1+ u_{2n+1}=10 $. Найти $ n_{} $.

Л

В арифметической прогрессии $ u_p=1/q, u_q=1/p $. Найти $ S_{pq} $.

Т

Определить $ x_{} $ из уравнения $ (x+1)+(x+4)+(x+7)+\dots+(x+28)=155 $.

Т

В геометрической прогрессии $ u_4=27, u_6=343 $. Найти $ S_{4} $.

Т

В геометрической прогрессии $ u_1+u_5=17,\ u_2+u_6=34 $. При каком $ n_{} $ будет $ S_n=31 $ ?

Бином Ньютона и сочетания

П

В разложении $ \displaystyle \left(x^5+\frac{1}{x^{20}}\right)^{1000} $ определить члены, не зависящие от $ x_{} $.

П

Найти рациональные члены в разложении $ \left( \sqrt[3]{x}+\sqrt[5]{y}\right)^{19} $.

П

Найти наибольший член разложения $ \left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{101} $.

Задачи на проценты

ГИ

Определить температуру смеси из $ 1_{} $ стакана воды в $ 80^{\circ} $ и $ 3_{} $ стаканов при $ 50^{\circ} $.

ГИ

Смешано $ 2_{} $ сорта серебра: $ 5_{} $ фунтов $ 82_{} $ пробы и $ 3_{} $ фунта $ 90_{} $ пробы. Определить пробу сплава.

ГИ

Каким капиталом надо обладать, чтобы получать ежегодно $ 2000 $ руб. процентов, если банк платит $ 4.5 \% $?

ГИ

Через сколько лет удвоится капитал, отданный в рост под $ p_{} $ сложных процентов?

Задачи на целые числа

ГИ

Некто рассчитал, что если он даст каждому нищему по $ 15 $ коп., то у него не хватит $ 10 $ коп.; если же он будет давать по $ 12 $ коп., то у него останется $ 14 $ коп. Сколько было нищих и денег?

П

Написано число $ 49 $. Между цифрами $ 4 $ и $ 9 $ вставили $ 48 $, в полученное число $ 4489 $ между цифрами $ 4 $ и $ 8 $ опять вписали $ 48 $ и т.д. Доказать, что все полученные таким образом числа будут точными квадратами.

Геометрия

Гор

Вычислить отношение объемов двух конусов одинаковой высоты, если при развертке они образуют два сектора: один с углом в $ n^{o} $, а другой в $ m^{o} $.

Гор

Около шара описана правильная усеченная треугольная призма, а около этой призмы описан шар. Определить отношение3) поверхностей этих шаров.

П

Если $ O_{} $ есть центр тяжести треугольника $ ABC $, то доказать что $$ |AB|^2+|BC|^2+|AC|^2=3 (|AO|^2+|BO|^2+|CO|^2) \ . $$

П

Если из любой точки окружности, описанной около треугольника, опустить перпендикуляры на три его стороны, то основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой (прямая Симпсона).

Разные задачи.

Э

Число $ N_{} $, удовлетворяющее уравнению $ (0.13)^{N-204}=0.002197 $, разложить на такие две целые части4), чтобы одна часть была кратной $ 7_{} $, а другая при делении на $ 17_{} $ давала бы в остатке $ 9_{} $.

П

В круг радиуса $ r_{} $ вписан правильный треугольник, в него вписан круг, в круг — опять треугольник и т.д. Найти предел суммы площадей всех этих треугольников.

П

Имеются два сосуда; в одном находятся $ A_{} $ ведер вина, в другом — $ B_{} $ ведер воды. Из обоих сосудов отлили сразу $ C_{} $ ведер и перелили вино в сосуд с водой, а воду — в сосуд с вином. Определить сколько ведер вина останется в первом сосуде после $ n_{} $ таких переливаний.

П

Нанята партия рабочих. Если бы они явились на работу все вместе, то окончили бы ее в $ 5_{} $ часов. Но они приходят друг за другом через равные промежутки времени. Первый работал в $ m_{} $ раз больше последнего. Сколько времени они будут работать?

П

Моноплан и биплан летают над аэродромом, первый со скоростью $ 133 $ км/час, а второй — $ 73 $ км/час. Длина пути над аэродромом — $ 6 $ км. Сколько раз в течение первого получаса они сойдутся, если в начале полета биплан был на $ 1 $ км впереди?

Решения

некоторых задач раздела ☞ ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Киселев А. Алгебра. Часть вторая. Учебник для 8-10-го классов средней школы. Учпедгиз. М.1938.

[2]. Малининъ А., Буренинъ К. Руководство алгебры и собранiе алгебраическихъ задачъ для гимназiй, реальныхъ училищъ и учительскихъ институтовъ. Изданiе седьмое. М. Изданiе книжнаго магазина наследников бр. Салаевыхъ. 1884.

[3]. Малининъ А., Буренинъ К. Собранiе ариθметическихъ задачъ для гимназiй и прогимназiй, мужскихъ и женскихъ; реальных, уездныхъ и городскихъ училищъ, учительскихъ институтовъ и семинарiй. Изданiе тридцать четвертое. М. Изданiе книгоиздательства т-ва И.Д.Сытина. 1912

[4]. Шмулевич П.К. Сборникъ задачъ, предлагавшихся на конкурсныхъ экзаменахъ при поступленiи въ спецiaльныя высшiя учебныя заведенiя. Часть II. Алгебра. Изданiе VIII. Часть III. Геометрия. Изданiе VII. С.-Петербург. 1915

1)
Имеется в виду: к числителю и знаменателю. - Примечание au.
2)
С 1993 г. — C.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
3)
Имеется в виду: площадей. - Примечание au.
4)
Имеется в виду: в сумму. - Примечание au.
schoolmath.txt · Последние изменения: 2020/06/13 00:24 — au