Выделил разделы, которые исключены из современных школьных программ; разделы входили в курс школьной математики еще, по крайней мере, в 1938 г.[1].

• Сочетания, перестановки, бином Ньютона

• Целые числа, непрерывные дроби, делимость, наибольший общий делитель (в том числе алгоритм Евклида ), решение линейных уравнений в целых числах

• Проценты (в том числе сложные)

• Действия с радикалами, в том числе освобождение от иррациональностей в знаменателях дробей

• Комплексные числа

• Многочлены (в том числе от нескольких переменных), их делимость, разложение на множители, извлечение корней, наибольший общий делитель

• Пределы, ряды

С геометрией пока не разбирался, но по задачам можно оценить «глубину деградации» за прошедшее столетие…

§ Формулировки последующих задач приведены в вариантах источников: орфографию не менял, в систему СИ не переводил.

На содержание $ 45 $ человек издержано в $ 56 $ дней $ 2040 $ руб.; сколько нужно издержать на $ 75 $ человек в $ 70 $ дней?

Показать, что разность между каким-нибудь числом и числом, состоящим из тех же цифр, как первое, но написанных в обратном порядке, делится без остатка на $ 9_{} $.

Найти сумму остатков от деления $ 7263 $ на $ 5_{} $ , $ 85461_{} $ на $ 9_{} $, $ 13025 $ на $ 25_{} $, $ 1237 $ на $ 10_{} $, $ 28003_{} $ на $ 100_{} $, не производя деления чисел.

Доказать, что $ \displaystyle \frac{23}{75}=\frac{2323}{7575}=\frac{232323}{757575}=\dots $

Сколько можно провести замкнутых ломаных линий через $ n_{} $ точек на плоскости, если эти точки расположены так, что между ними нет трех точек, лежащих на одной прямой.

Чему равна сумма всех чисел, которые можно получить, делая всевозможные перестановки из цифр $ 0,1,3,5,7 $.

Доказать, что если прибавить какое-нибудь положительное число к обоим членам дроби¹⁾, то дробь приблизится к единице.

Доказать, что если сложить числителей и знаменателей двух разных дробей, то полученная дробь будет заключаться между данными дробями.

В какой системе счисления

• число $ 73 $ изображается $ 111 $,
• число $ 157 $ изображается $ 111 $,
• число $ 65793 $ изображается $ 10000000100000001 $,
• число $ 1333 $ изображается $ 10101 $?

Дано $ 487=964 $; по каким системам счисления могут быть написаны эти числа?

Какое число при делении на $ 7,13,4 $ дает остатки $ 2,9,1 $ ?

Какие числа при делении на $ 3,7,11,13 $ дают остатки $ 1,6,10,12 $ ?

Из скольких цифр состоит $ 6^{5^4} $, $ 4^{5^6} $, $ 5^{4^6} $, $ 6^{4^5} $ ?

Доказать, что $ x^5+y^5-x^4y-xy^4>0 $ при $ x>0 $ и $ y>0 $.

Решить систему уравнений

• $ x^2+xy+y^2=37,\ x^2+xz+z^2=28,\ y^2+yz+z^2=19 $;
• $ xy^2z^3=4725,\ yz^2x^{-1}=45/7,\ zx^{-2}y^{-1}=3/245 $.

Из уравнений $ x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=d^{-1} $ и $ ax^3=by^3=cz^3 $ определить $ ax^2+by^2+cz^2 $.

$ n_{} $ прямых линий пересекаются в одной точке, образуя между собой углы $ =\alpha $. Из какой-нибудь точки одной линии опускают перпендикуляр на соседнюю линию; из конца этого перпендикуляра опускают перпендикуляр на следующую линию и т.д. Определить длину образующейся бесконечной ломаной линии, если длина первого перпендикуляра $ =a $.

Определить $ x+3\,x^2+x^3+3\,x^4+x^5+3\,x^6+\dots $ при $ |x|<1 $.

Найти коэффициент при $ x^{n-1} $ в уравнении, каждый корень которого на $ 1_{} $ меньше корня уравнения $ x^n+x+1 =0 $.

При каком условии уравнение $ x^n-1=0 $ имеет корни вида $ a+b\mathbf i $ и $ b+a \mathbf i $.

Найти сумму чисел $$ 1+11+111+1111+\dots+\overbrace{111\dots 11}^n \ . $$

Дана геометрическая прогрессия $ a_1,a_2,\dots,a_n $. Определить чему равна сумма

$$ \mathbf a)\ S=\frac{1}{a_1^2-a_2^2}+\frac{1}{a_2^2-a_3^2}+\frac{1}{a_3^2-a_4^2}+\dots+\frac{1}{a_{n-1}^2-a_n^2} ; $$ $$ \mathbf b)\ S=\frac{1}{a_1^k+a_2^k}+\frac{1}{a_2^k+a_3^k}+\frac{1}{a_3^k+a_4^k}+\dots+\frac{1}{a_{n-1}^k+a_n^k} . $$

Суммировать ряд

$$ \left(x+\frac{1}{x} \right)^2+\left(x^2+\frac{1}{x^2} \right)^2+\dots+ \left(x^n+\frac{1}{x^n} \right)^2 \ . $$

Суммировать бесконечный ряд

$$ 1+x+y+x^2+xy+y^2+x^3+x^2y+xy^2+y^3+\dots+ (x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+\dots+y^n)+\dots $$ при $ |x|<1, \ |y|<1 $.

Дан ряд, составленный по закону $ a_n=2a_{n-1}-1 $, причем $ a_1=1 $. Найти $ a_{n} $.

Дан ряд, составленный по такому закону, что $$ u_{n+1}=u_n+u_{n-1}, \quad \mbox{ причем } \quad u_1=1,u_2=2 . $$ Доказать, что a) $ u_{2n}=u_n^2+u_{n-1}^2 $; b) $ \left(u_n\right)^2=u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^n $.

В круг вписан квадрат; в него вписан круг; в новый круг вписан опять квадрат и т.д. до бесконечности; определить предел суммы площадей сегментов.

Построить треугольник

• по данной стороне, углу к ней прилежащему и сумме двух других сторон;
• по данному его периметру и углам;
• по данной стороне и медианам двух других сторон;
• по данному основанию, высоте на это основание и медиане одной из двух других сторон;
• по данному основанию, радиусу круга описанного и отношению двух других сторон.

Построить трапецию по данным четырем ее сторонам.

Описать окружность,

• касающуюся данной прямой в данной точке и данной окружности;
• проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

Найти точку, из которой три отрезка данной прямой $ AB, BC $ и $ CD $ были бы видны под равными углами.

Найти в треугольнике такую точку, чтобы перпендикуляры, опущенные из нее на стороны, находились в данном отношении $ m:n:p $.

В данный круг вписать прямоугольник с данной площадью $ a^{2} $.

Разделить треугольник пополам прямою, проходящей через данную точку на одной из его сторон.

Построить равносторонний треугольник, равновеликий данному треугольнику.

Домовладельцы должны были платить в Думу седьмую часть получаемого с домов дохода; впоследствии же требовалось платить шестую часть. На сколько домовладельцы должны увеличить плату за квартиры, чтобы получать столько же чистого дохода, как прежде?

Три деревни должны внести $ 594 $ руб. податей пропорционально числу жителей. Сколько должна внести каждая, если число жителей первой относится к числу жителей второй как $ 3:5 $, а число жителей второй к числу жителей третьей как $ 8:7 $?

Для отопления дома назначено по смете в месяц несколько саженей дров определенной цены. В первый месяц дров вышло $ 5_{} $-ю саженями больше, чем было назначено, и хотя цена их была рублем меньше сметной, но оказалась передержка в $ 10_{} $ руб. Во второй месяц дров вышло $ 2_{} $ саженями меньше, чем было назначено, но цена их была рублем дороже сметной, и потому также было передержано $ 10_{} $ руб. Сколько саженей дров положено в месяц по смете и какая была назначена цена им?

Некто купил дом с обязательством платить за него в течение $ 20 $ лет по $ 2200 $ руб., считая по $ 5_{} \% $. Сколько стоит дом за наличные деньги?

Некто выдал вексель в 2750 руб. на год, но расчитался раньше срока, и при учете в $ 8_{} \% $ заплатил 2695 руб.; за сколько месяцев до срока он уплатил по векселю?

Число жителей одного города постоянно возрастало в одном отношении, и в течение четырех лет возросло с $ 10000 $ до $ 14641 $. На какую часть оно возрастало ежегодно?

A и B внесли для торговли $ 8\,500 $ руб.; капитал A был в обороте $ 6_{} $ месяцев, а B — $ 9_{} $ месяцев; по окончании дела A и B получили по $ 6\, 000 $ руб. Определить капитал каждого.

Четверо играют в карты, с тем что проигравший должен заплатить прочим столько, сколько они имели перед сыгранной партией. После четырех партий, проигранных каждым поочередно, у каждого стало по $ 32 $ руб. Сколько было у каждого до игры?

Одна дама часто встречала у церкви троих нищих — старика, старуху и девочку; однажды она сама не могла идти в церковь, а послала своего сына и дала ему 52 коп., сказав, что если у церкви будет старик и старуха, то старику он должен дать $ 3/4 $ денег, а старухе $ 1/4 $; если же он встретит старуху и девочку, то он должен дать старухе $ 3/4 $, а девочке остальное. У церкви оказались все трое нищих; по скольку надо дать каждому?

При выборе директора акционерного общества $ 1/16 $ присутствовавших избирателей отказались подавать голос, и из двух кандидатов один, поддерживаемый $ 19/40 $ всех присутствовавших, выбран большинством $ 5_{} $ голосов. Сколько было голосов за него?

Некто на $ 3400 $ руб. купил $ 8_{} $ акций одной железной дороги и $ 12_{} $ другой. Через месяц первые поднялись на $ 15_{} $ руб., а вторые на $ 25_{} $ руб., и продавши половину первых и все вторые, он не вернул только $ 140 $ руб. По скольку он платил за акцию?

§ Обозначения институтов:
ГИ — Гражданских Инженеров²⁾, Гор — Горный, Л — Лесной, П — Путей Сообщения, Т — Технологический, Э — Электротехнический.

Сделать рациональным знаменатель следующей дроби:

$ \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} $,

$ \displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}} $.

Перемножить выражения $ (x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1) $.

Найти частное от деления

$ (x^{6m}-y^{6n}):(x^m+y^n) $;

$ (x^6+1):(x^2+1) $.

Разложить на множители следующие выражения

$ b^2c^2+bc-12 $;

$ 2\,x^4+1 $.

Разложить на рациональные множители $ 64\,x^6-729 $.

Извлечь квадратный корень из многочлена

$ 4\,x^4-4\,x^3+13\,x^2-6\,x+9 $;

$ 4\,a-12\, a^{1/2}b^{1/3}+16\,a^{1/2}c^{1/4}+9\,b^{2/3}-24\,b^{1/3}c^{1/4}+16\,c^{1/2} $ .

Найти предел выражения

$ \sqrt[n]{3}\cdot \sqrt[2n]{3}\cdot \sqrt[4n]{3} \cdot \sqrt[8n]{3} \cdot \dots $ ,

$ \left[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}+ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\times\dots}}}} \right]^2 $.

Решить уравнения с одним неизвестным:

$ \sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x} - 2=0 $;

$ 2\,x \sqrt[3]{x} - 3\, x \sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{x}}=20 $.

Решить системы уравнений с двумя неизвестным:

$ x+y=10, \quad \sqrt{\displaystyle \frac{x}{y}}+ \sqrt{\displaystyle \frac{y}{x}}= \displaystyle \frac{5}{2} $;

$ (3\,x+4\,y)(7\,x-2\,y)+3\,x+4\,y=44,\quad (3\,x+4\,y)(7\,x-2\,y)-7\,x+2\,y=30 $;

$ xy+x+y=11,\ x^2y+xy^2=30 $;

$ \displaystyle \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18, x+y=12 $;

$ x+y+\sqrt{xy}=14,\quad x^2+y^2+xy=84 $.

Решить показательные и логарифмические уравнения

$ 2^{x^2-6\,x-5/2} = 16 \sqrt{2} $,

$ 3^{\sqrt{x}}=\sqrt[x]{6561} $,

$ \left[ 5^{x^2+x-2} \right]^{3-x}=1 $,

$ 4^x-5\cdot 2^x+6=0 $,

$ \log_2 \log_2 \log_2 x = 0 $

$ \log_x 5 \sqrt{5}-1.25=\left( \log_x \sqrt{5}\right)^2 $.

Решить системы уравнений

$ x^y=32,\quad \sqrt[y]{1024}=2\, x $,

$ \left(a^x\cdot a^y \right): a^5=a^2,\quad \left(a^x \right)^y=\left(a^{-6}\right)^{-2} $,

$ xy=8,\quad (2\,x)^{\log_2 y}=8 $.

Решить неравенства

$ x^4-15\,x^2-16 < 0 $,

$ \displaystyle \frac{(x^2-1)^2(x+2)}{(x+1)} > 0 $,

$ (x-2)\sqrt{x^2+1}\ge x^2+2 $.

§ В следующих задачах на прогрессии обозначено:
$ u_{j} $ — $ j $-й элемент, $ S_{n} $ — сумма $ n_{} $ членов, $ d_{} $ — разность арифметической, $ q_{} $ — знаменатель геометрической прогрессии.

В арифметической прогрессии $ u_1=1, S_n=8, S_{2n}=40 $. Найти $ n_{} $.

В арифметической прогрессии $ u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n+1}=25,\ u_1+ u_{2n+1}=10 $. Найти $ n_{} $.

В арифметической прогрессии $ u_p=1/q, u_q=1/p $. Найти $ S_{pq} $.

Определить $ x_{} $ из уравнения $ (x+1)+(x+4)+(x+7)+\dots+(x+28)=155 $.

В геометрической прогрессии $ u_4=27, u_6=343 $. Найти $ S_{4} $.

В геометрической прогрессии $ u_1+u_5=17,\ u_2+u_6=34 $. При каком $ n_{} $ будет $ S_n=31 $ ?

Бином Ньютона и сочетания

В разложении $ \displaystyle \left(x^5+\frac{1}{x^{20}}\right)^{1000} $ определить члены, не зависящие от $ x_{} $.

Найти рациональные члены в разложении $ \left( \sqrt[3]{x}+\sqrt[5]{y}\right)^{19} $.

Найти наибольший член разложения $ \left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{101} $.

Задачи на проценты

Определить температуру смеси из $ 1_{} $ стакана воды в $ 80^{\circ} $ и $ 3_{} $ стаканов при $ 50^{\circ} $.

Смешано $ 2_{} $ сорта серебра: $ 5_{} $ фунтов $ 82_{} $ пробы и $ 3_{} $ фунта $ 90_{} $ пробы. Определить пробу сплава.

Каким капиталом надо обладать, чтобы получать ежегодно $ 2000 $ руб. процентов, если банк платит $ 4.5 \% $?

Через сколько лет удвоится капитал, отданный в рост под $ p_{} $ сложных процентов?

Задачи на целые числа

Некто рассчитал, что если он даст каждому нищему по $ 15 $ коп., то у него не хватит $ 10 $ коп.; если же он будет давать по $ 12 $ коп., то у него останется $ 14 $ коп. Сколько было нищих и денег?

Написано число $ 49 $. Между цифрами $ 4 $ и $ 9 $ вставили $ 48 $, в полученное число $ 4489 $ между цифрами $ 4 $ и $ 8 $ опять вписали $ 48 $ и т.д. Доказать, что все полученные таким образом числа будут точными квадратами.

Геометрия

Вычислить отношение объемов двух конусов одинаковой высоты, если при развертке они образуют два сектора: один с углом в $ n^{o} $, а другой в $ m^{o} $.

Около шара описана правильная усеченная треугольная призма, а около этой призмы описан шар. Определить отношение³⁾ поверхностей этих шаров.

Если $ O_{} $ есть центр тяжести треугольника $ ABC $, то доказать что $$ |AB|^2+|BC|^2+|AC|^2=3 (|AO|^2+|BO|^2+|CO|^2) \ . $$

Если из любой точки окружности, описанной около треугольника, опустить перпендикуляры на три его стороны, то основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой (прямая Симпсона).

Разные задачи.

Число $ N_{} $, удовлетворяющее уравнению $ (0.13)^{N-204}=0.002197 $, разложить на такие две целые части⁴⁾, чтобы одна часть была кратной $ 7_{} $, а другая при делении на $ 17_{} $ давала бы в остатке $ 9_{} $.

В круг радиуса $ r_{} $ вписан правильный треугольник, в него вписан круг, в круг — опять треугольник и т.д. Найти предел суммы площадей всех этих треугольников.

Имеются два сосуда; в одном находятся $ A_{} $ ведер вина, в другом — $ B_{} $ ведер воды. Из обоих сосудов отлили сразу $ C_{} $ ведер и перелили вино в сосуд с водой, а воду — в сосуд с вином. Определить сколько ведер вина останется в первом сосуде после $ n_{} $ таких переливаний.

Нанята партия рабочих. Если бы они явились на работу все вместе, то окончили бы ее в $ 5_{} $ часов. Но они приходят друг за другом через равные промежутки времени. Первый работал в $ m_{} $ раз больше последнего. Сколько времени они будут работать?

Моноплан и биплан летают над аэродромом, первый со скоростью $ 133 $ км/час, а второй — $ 73 $ км/час. Длина пути над аэродромом — $ 6 $ км. Сколько раз в течение первого получаса они сойдутся, если в начале полета биплан был на $ 1 $ км впереди?

некоторых задач раздела ☞ ЗДЕСЬ.

Петровское коммерческое училище в С.Петербурге, 1916 г.:

• Закон Божий
• русский язык и словесность
• английский язык
• немецкий язык
• французский язык
• история
• география
• естественная история
• физика
• космография
• химия
• арифметика
• алгебра
• геометрия
• тригонометрия
• аналитическая геометрия
• коммерческая арифметика
• бухгалтерия
• история торговли
• политическая экономия
• Законоведение
• товароведение с технологией
• коммерческая география и статистика
• коммерческая корреспонденция на русском языке
• то же самое на французском языке
• то же самое на английском языке
• то же самое на немецком языке
• графические искусства (чистописание, рисование и черчение).

102 школа г. Ленинграда, 1927 г.

• родной язык и литература,
• арифметика
• алгебра
• геометрия
• тригонометрия
• естествознание
• физика
• химия
• география
• обществоведение
• французский язык
• немецкий язык
• рисование
• пение
• начала аналитический геометрии и анализа бесконечно-малых
• мироведение
• черчение
• плакатное дело.

[1]. Киселев А. Алгебра. Часть вторая. Учебник для 8-10-го классов средней школы. Учпедгиз. М.1938.

[2]. Малининъ А., Буренинъ К. Руководство алгебры и собранiе алгебраическихъ задачъ для гимназiй, реальныхъ училищъ и учительскихъ институтовъ. Изданiе седьмое. М. Изданiе книжнаго магазина наследников бр. Салаевыхъ. 1884.

[3]. Малининъ А., Буренинъ К. Собранiе ариθметическихъ задачъ для гимназiй и прогимназiй, мужскихъ и женскихъ; реальных, уездныхъ и городскихъ училищъ, учительскихъ институтовъ и семинарiй. Изданiе тридцать четвертое. М. Изданiе книгоиздательства т-ва И.Д.Сытина. 1912

[4]. Шмулевич П.К. Сборникъ задачъ, предлагавшихся на конкурсныхъ экзаменахъ при поступленiи въ спецiaльныя высшiя учебныя заведенiя. Часть II. Алгебра. Изданiе VIII. Часть III. Геометрия. Изданiе VII. С.-Петербург. 1915

[5]. Любищев А.А. О положении в средней школе.