Основное
Вспомогательная страница к разделу ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ.
Теорема. Имеет место равенство:
$$ \dim \mathbb V=\dim \left( \mathcal{K}er (\mathcal A) \right) + \dim \left( \mathcal{I}m (\mathcal A) \right) = \operatorname{dfc}(\mathcal A )+ \operatorname{rank}(\mathcal A ) \ .$$
Доказательство. Пусть $ \operatorname{rank}(\mathcal A)={\mathfrak r} $ и система $ \{Y_1,\dots,Y_{{\mathfrak r}}\} $ составляет базис $ \mathcal{I}m (\mathcal A) $. Тогда, согласно пункту в) теоремы 1, их прообразы $ X_1,\dots,X_{{\mathfrak r} } \ (Y_j=\mathcal A (X_j)) $ линейно независимы. Пусть $ \operatorname{dfc} (\mathcal A)=d $ и система $ \{X_1^{*},\dots,X_d^{*}\} $ составляет базис $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $ . Докажем, что система $$ \{X_1,\dots,X_{{\mathfrak r}},X_1^{*},\dots,X_d^{*}\} $$ является базисом $ \mathbb V_{} $.
Образ любого вектора $ X\in \mathbb V $ представи́м в виде линейной комбинации базисных векторов $ \mathcal{I}m (\mathcal A) $: $$\mathcal A(X)=\beta_1 Y_1\boxplus \cdots \boxplus \beta_{{\mathfrak r}} Y_{{\mathfrak r}} \ . $$ Тогда вектор $$ \widetilde X= X- \left(\beta_1 X_1+\cdots+ \beta_{{\mathfrak r}} X_{{\mathfrak r}} \right) $$ должен принадлежать $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $: $$\mathcal A (\widetilde X)=\mathcal A (X)\boxminus \beta_1 \mathcal A (X_1)\boxminus \cdots \boxminus \beta_{{\mathfrak r}} \mathcal A (X_{{\mathfrak r}})=\mathcal A (X) \boxminus \beta_1 Y_1 \boxminus \cdots \boxminus \beta_{{\mathfrak r}} Y_{{\mathfrak r}}=\mathbb O'\ .$$ Следовательно, $ \widetilde X $ представи́м в виде линейной комбинации векторов $ X_1^{*},\dots,X_d^{*} $: $$ \widetilde X=\alpha_1 X_1^{*}+\cdots+ \alpha_d X_d^{*} \ . $$ Из этого равенства и определения вектора $ \widetilde X $ вытекает, что вектор $ X_{} $ представи́м в виде линейной комбинации векторов системы $ \{X_1,\dots,X_{{\mathfrak r}},X_1^{*},\dots,X_d^{*}\} $.
Осталось показать, что вектора этой системы линейно независимы. Пусть имеет место равенство $$ \gamma_1 X_1+\cdots+ \gamma_{{\mathfrak r}} X_{{\mathfrak r}}+\delta_1X_1^{*}+\cdots+ \delta_dX_d^{*}=\mathbb O $$ при некотором наборе скаляров. Тогда действие $ \mathcal A_{} $ на обе части равенства приводит к $$\gamma_1Y_1\boxplus \cdots \boxplus \gamma_{{\mathfrak r}}Y_{{\mathfrak r}} \boxplus \mathbb O' \boxplus \cdots \boxplus \mathbb O'=\mathbb O' \ ,$$ что возможно только при $ \gamma_1=0,\dots ,\gamma_{{\mathfrak r}}=0 $ поскольку $ \{Y_1,\dots,Y_{{\mathfrak r}}\} $ — базис $ \mathcal{I}m (\mathcal A) $. Таким образом предполагаемое равенство $$ \gamma_1 X_1+\cdots+ \gamma_{{\mathfrak r}} X_{{\mathfrak r}}+\delta_1X_1^{*}+\cdots+ \delta_dX_d^{*}=\mathbb O $$ вырождается в $ \delta_1 X_1^{*}+\cdots+ \delta_d X_d^{*}=\mathbb O $, которое также возможно только при $ \delta_1 =0, \dots, \delta_d=0 $, поскольку $ \{X_1^{*},\dots,X_d^{*}\} $ — базис $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $. Равенство нулевому вектору линейной комбинации векторов $ \{X_1,\dots,X_{{\mathfrak r}},X_1^{*},\dots,X_d^{*}\} $ оказывается возможным только при нулевом наборе скаляров.
Мы доказали, что система системы $ \{X_1,\dots,X_{{\mathfrak r}},X_1^{*},\dots,X_d^{*}\} $ — базисная для $ \mathbb V_{} $, но тогда $ {\mathfrak r}+d=\dim \mathbb V $. ♦