Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ПОЛИНОМЫ


Рекурсивная формула для ганкелевых полиномов

Обозначения. Ганкелев полином $ k $-го порядка по переменной $ x $, порожденный числовой последовательностью $ \{c\} =\{c_0,c_1,\dots \} $: $$ \mathcal H_k(x; \{c\}) = \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k} \\ c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k+1} \\ \vdots & & & \ddots& \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-1} \\ 1 & x & x^2 & \ldots & x^{k} \end{array} \right|_{(k+1) \times (k+1)} $$ Коэффициенты будем обозначать $ h_{kj} $; таким образом $$ \mathcal H_k(x; \{c\})\equiv h_{k0} x^k +h_{k1} x^{k-1} +\dots + h_{kk} \ ; $$ Коэффициент при $ x^k $ является ганкелевым определителем $$ h_{k0} = H_k(\{c\}):= \left| \begin{array}{llll} c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k-1} \\ c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k} \\ \vdots & & & \ddots& \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-2} \end{array} \right|_{k \times k} \, . $$ Он может обращаться в нуль, так что степень ганкелевого полинома $ k_{} $-го порядка может оказаться меньшей $ k_{} $.

В дальнейшем будем часто использовать сокращенные обозначения ганкелевых полиномов и определителей $ \mathcal H_л(x) $ и $ H_k $ (без указания порождающих их последовательностей).
П

Пример. Вычислить ганкелевы полиномы $ \{\mathcal H_k(x)\}_{k=1}^5 $, порожденные последовательностью

$$ \{1,1,2,-1,-9,-142,-2051,-29709,-430018,-6224467,\dots \} \, . $$

Решение. Имеем: $$ \mathcal H_1(x)=x-1,\ \mathcal H_2(x)=x^2+3\,x-5,\ \mathcal H_3(x)=-22\,x^3+164\,x^2+316\,x-666,\ $$ $$ \mathcal H_4(x)=19656\,x^4-278356\,x^3-97864\,x^2+93808\,x+468, $$ $$ \mathcal H_5(x)=4638712(x^5-14\,x^4-7\,x^3+2\,x^2-3\,x+8) \ . $$ Легко проверить, что вычисленные полиномы удовлетворяют тождествам: $$ -22\, \mathcal H_1(x)+\left(\frac{115}{11}-x\right)\mathcal H_2(x) -\frac{1}{22} \mathcal H_3(x) \equiv 0, $$ $$ -\frac{9828}{11}\, \mathcal H_2(x) +\left( \frac{27887}{4158}-x \right) \mathcal H_3(x)-\frac{11}{9828} \mathcal H_4(x) \equiv 0, $$ $$ \frac{44603}{189} \mathcal H_3(x)+ \left( -\frac{61}{378}-x \right) \mathcal H_4(x)+\frac{189}{44603} \mathcal H_5(x) \equiv 0 \ . $$

Т

Теорема [Якоби, Йоахимшталь]. Любые три ганкелевых полинома $ \mathcal H_{k-2}(x), \mathcal H_{k-1}(x), \mathcal H_{k}(x) $ связаны тождеством

$$ H_k^2\mathcal H_{k-2}(x) + \left(H_kh_{k-1,1}-H_{k-1}h_{k1}-H_kH_{k-1}x\right)\mathcal H_{k-1}(x) + H_{k-1}^2 \mathcal H_{k}(x) \equiv 0 \, . $$

В литературе после 1910 г. упоминаний этого тождества (и ссылок на него) не нашел. В настоящем ресурсе называется JJ-тождеством.

Доказательство совпадает с оригинальным доказательством Йоахимшталя1)

Лемма. Пусть ганкелев полином $ \mathcal H_k(x) $ порожден последовательностью $$ \left\{ c_j=\sum_{\ell=1}^m \lambda_{\ell}^j \right\}_{j=0}^{2k-1} $$ при произвольных различных $ \lambda_1,\dots,\lambda_m $ при $ m > k $ (т.е. $ c_0=m $). Тогда справедливы следующие равенства $$ \sum_{\ell=1}^m \lambda_{\ell}^j \mathcal H_k(\lambda_{\ell}) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{при} \ j \in \{0,\dots, k-1\}, \\ H_{k+1} & \mbox{при} \ j = k \, . \end{array} \right. $$

Доказательство леммы. $$ \lambda_1^j \mathcal H_k(\lambda_1) + \lambda_2^j \mathcal H_k(\lambda_2) + \dots + \lambda_m^j \mathcal H_k(\lambda_m)= $$ $$ =\lambda_1^j\left| \begin{array}{llll} c_0 & c_1 & \ldots & c_{k} \\ c_1 & c_2 & \ldots & c_{k+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & \ldots & c_{2k-1} \\ 1 & \lambda_1 & \ldots & \lambda_1^{k} \end{array} \right|+ \dots+ \lambda_m^j\left| \begin{array}{llll} c_0 & c_1 & \ldots & c_{k} \\ c_1 & c_2 & \ldots & c_{k+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & \ldots & c_{2k-1} \\ 1 & \lambda_m & \ldots & \lambda_m^{k} \end{array} \right| \, . $$ Используя линейное свойство определителя, преобразуем линейную комбинацию определителей в один: $$ \left| \begin{array}{llll} c_0 & c_1 & \ldots & c_{k} \\ c_1 & c_2 & \ldots & c_{k+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & \ldots & c_{2k-1} \\ c_j & c_{j+1} & \ldots & c_{j+k} \end{array} \right| \, . $$ При $ j < k $ последний определитель имеет две одинаковые строки. Следовательно, в этом случае он равен $ 0 $. При $ j=k $ полученный определитель совпадает с $ H_{k+1} $.


Доказательство теоремы. Рассмотрим сначала случай когда последовательность, порождающая полиномы $ \mathcal H_{k-2}(x), \mathcal H_{k-1}(x), \mathcal H_{k}(x) $ задается формулами из леммы: $$ \left\{ c_j=\sum_{\ell=1}^m \lambda_{\ell}^j \right\}_{j=0}^{2k-1} $$ при произвольных различных $ \lambda_1,\dots,\lambda_m $ при $ m > k $ (т.е. $ c_0=m $).

В предположении $ H_{k-1}\ne 0 $ (т.е. $ \deg \mathcal H_{k-1}(x)= k-1 $) разделим $ \mathcal H_k(x) $ на $ \mathcal H_{k-1}(x) $: \begin{equation} \mathcal H_k(x) \equiv Q(x) \mathcal H_{k-1}(x) +R(x) \, . \end{equation} Неопределенные коэффициенты частного $ Q(x) $ могут быть выражены через коэффициенты $ \mathcal H_k(x) $ и $ \mathcal H_{k-1}(x) $ приравниванием коэффициентов при соответствующих степенях $ x $ в обеих частях этого тождества: \begin{equation} Q(x)=Q_0+Q_1x \quad \mbox{ где } \ Q_1=\frac{H_k}{H_{k-1}}\, ,\ Q_0=\frac{H_{k-1}h_{k1}-H_kh_{k-1,1}}{H_{k-1}^2} \, , \end{equation} или, эквивалентно, \begin{equation} Q(x) \equiv \frac{1}{H_{k-1}^2}\left|\begin{array}{ccc} 0 & H_{k-1} & H_k \\ H_{k-1} & h_{k-1,1} & h_{k1} \\ 1 & x & 0 \end{array} \right| \enspace . \end{equation} Для определения коэффициентов остатка \begin{equation} R(x) = R_0+R_1x+\dots+ R_{k-2}x^{k-2} \end{equation} подставляем $ x = \lambda_1,\dots,x=\lambda_m $ в $$ \mathcal H_k(x) \equiv Q(x) \mathcal H_{k-1}(x) +R(x) \, , $$ и получаем \begin{equation} \left\{\mathcal H_k(\lambda_{\ell}) = \left(Q_1\lambda_{\ell}+Q_0 \right) \mathcal H_{k-1}(\lambda_{\ell}) + \left( R_0+R_1\lambda_{\ell}+\dots+ R_{k-2}\lambda_{\ell}^{k-2}\right)\right\}_{\ell=1}^m \, . \end{equation} Суммируем эти равенства: $$ \sum_{\ell=1}^m \mathcal H_k(\lambda_{\ell}) =Q_0\sum_{\ell=1}^m \mathcal H_{k-1}(\lambda_{\ell})+Q_1 \sum_{\ell=1}^m \lambda_{\ell}\mathcal H_{k-1}(\lambda_{\ell}) + (c_0R_0+c_1R_1+\dots+c_{k-2}R_{k-2}) \, . $$

На основании леммы, имеем: $$ 0=c_0R_0+c_1R_1+\dots+c_{k-2}R_{k-2} \, . $$ Далее, умножаем каждое равенство \begin{equation} \left\{\mathcal H_k(\lambda_{\ell}) = \left(Q_1\lambda_{\ell}+Q_0 \right) \mathcal H_{k-1}(\lambda_{\ell}) + \left( R_0+R_1\lambda_{\ell}+\dots+ R_{k-2}\lambda_{\ell}^{k-2}\right)\right\}_{\ell=1}^m \, . \end{equation} на соответствующее $ \lambda_{\ell}^j $ и суммируем полученное по $ \ell $. Для $ j\in \{1,\dots, k-3\} $ получающиеся равенства подобны выведенному выше: $$ 0=c_jR_0+c_{j+1}R_1+\dots+c_{j+k-2}R_{k-2} \, . $$ Домножение равенств \begin{equation} \left\{\mathcal H_k(\lambda_{\ell}) = \left(Q_1\lambda_{\ell}+Q_0 \right) \mathcal H_{k-1}(\lambda_{\ell}) + \left( R_0+R_1\lambda_{\ell}+\dots+ R_{k-2}\lambda_{\ell}^{k-2}\right)\right\}_{\ell=1}^m \, . \end{equation} на $ \lambda_{\ell}^{k-2} $ приводит к несколько иному соотношению $$ 0=H_k Q_1+ c_{k-2}R_0+c_{k-1}R_1+\dots+c_{2k-4}R_{k-2} \, . $$ Объединяя все полученные уравнения для $ R_0,\dots,R_{k-2} $ с равенством $$ R(x)=R_0+R_1x+\dots+ R_{k-2}x^{k-2} $$ получаем систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{rrrrrr} c_0R_0 &+c_1R_1 &+\dots & +c_{k-2}R_{k-2} & & =0, \\ c_1R_0 &+c_2R_1 &+\dots & +c_{k-1}R_{k-2} & & =0, \\ \dots & & & & & \dots \\ c_{k-3}R_0 & +c_{k-2}R_1 & +\dots &+c_{2k-5}R_{k-2} & & =0, \\ c_{k-2}R_0 & +c_{k-1}R_1 & +\dots &+c_{2k-4}R_{k-2} &+H_kQ_1 & =0,\\ R_0& +xR_1 &+\dots &+ x^{k-2}R_{k-2} & -R(x) & =0. \end{array} \right. $$ Рассмотрим ее как систему однородных уравнений относительно $ R_0,R_1,\dots,R_{k-2}$ и $ 1 $. Поскольку она обладает нетривиальным решением, ее определитель должен равняться нулю: $$ \left| \begin{array}{llllc} c_0 & c_1 & \dots & c_{k-2} & 0 \\ c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ c_{k-3} & c_{k-2} & \dots & c_{2k-5} & 0 \\ c_{k-2} & c_{k-1} & \dots & c_{2k-4} & H_kQ_1 \\ 1 & x & \dots & x^{k-2} & -R(x) \end{array} \right|=0 \, . $$ Раскладываем определитель по последнему столбцу: $$ H_{k-1}R(x) + H_kQ_1 \mathcal H_{k-2}(x) \equiv 0 \, . $$ Вместе с уже полученным выше выражением для $ Q_1 $, это подтверждает справедливость тождества из формулировки теоремы по крайней мере для частного случая выбора генерирующей последовательности $$ \left\{ c_j=\sum_{\ell=1}^m \lambda_{\ell}^j \right\}_{j=0}^{2k-1} \, . $$

Рассмотрим теперь случай произвольной генерирующей последовательности. Для любой последовательности комплексных чисел $ c_1,\dots,c_{2k-1} $ можно найти комплексные числа $ \lambda_1,\dots, \lambda_{m} $ при $ m > 2k-1 $ такие, что будут справедливыми равенства $$ \left\{ c_j=\sum_{\ell=1}^m \lambda_{\ell}^j \right\}_{j=0}^{2k-1} \, . $$ Эти числа могут быть взяты как корни полинома степени $ m $, первые $ 2k-1 $ сумм Ньютона которого совпадают с $ \{ c_j \}_{j=1}^{2k-1} $.

Требуется ликвидировать единственный пробел в рассуждениях предыдущего абзаца. В то время как числа $ c_1,\dots,c_{2k-1} $ могут выбираться произвольными, число $ c_0 $ может быть только натуральным: $ c_0=m $. Таким образом справедливость JJ-тождества доказана только для натуральных $ c_0 $. Однако, поскольку это тождество является алгебраическим относительно $ c_0 $ и выполняется для бесконечного набора натуральных чисел, то оно должно выполняться и при всех $ c_0 \in \mathbb C $.

Йоахимшталь не доказывал JJ-тождество для случая $ H_{k-1} = 0$. Но этот случай покрывается теоремой Вейля (принципом несущественности алгебраических неравенств). Левая часть доказываемого тождества и $ H_{k-1} $ являются полиномами относительно $ c_0,\dots,c_{2k-1} $.

JJ-тождество позволяет организовать рекурсивную процедуру вычисления ганкелевых полиномов. Предположим, что канонические представления полиномов $ \mathcal H_{k-2}(x) $ и $ \mathcal H_{k-1}(x) $ уже известны: $$ \mathcal H_{k-1}(x) \equiv h_{k-1,0} x^{k-1}+h_{k-1,1}x^{k-2}+\dots+ h_{k-1,k-1} $$ при $$ h_{k-1,0}=H_{k-1}\ne 0 \, . $$ Тогда в JJ-тождестве, представленном в виде $$ \mathcal H_{k}(x) \equiv\left( \frac{H_k}{H_{k-1}}x+\frac{h_{k,1}}{H_{k-1}} - \frac{H_kh_{k-1,1}}{H_{k-1}^2} \right) \mathcal H_{k-1}(x) - \frac{H_k^2}{H_{k-1}^2} \mathcal H_{k-2}(x) \, , $$ известны значения всех констант, за исключением $ H_k $ и $ h_{k1} $. Для последних имеются лишь детерминантные представления: $$ H_k = \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & \dots & c_{k-2} & c_{k-1} \\ c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} & c_{k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ c_{k-2} & c_{k-1} & \dots & c_{2k-4} & c_{2k-3} \\ c_{k-1} & c_{k} & \dots & c_{2k-3} & c_{2k-2} \end{array} \right| \ , \ h_{k1} = - \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & \dots & c_{k-2} & c_{k} \\ c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} & c_{k+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ c_{k-2} & c_{k-1} & \dots & c_{2k-4} & c_{2k-2} \\ c_{k-1} & c_{k} & \dots & c_{2k-3} & c_{2k-1} \end{array} \right| \, . $$ Эти определители отличаются от детерминантного представления $ \mathcal H_{k-1}(x) $ (транспонированного) $$ \left[\mathcal H_{k-1}(x) \right]^{\top} = \left| \begin{array}{llllll} c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k-2} & 1 \\ c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k-1} & x \\ \vdots & & & \ddots & \vdots & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-3} & x^{k-1} \end{array} \right| $$ только своими последними столбцами. Разложения определителей по элементам этих последних столбцов имеют одинаковые значения для соответствующих алгебраических дополнений, и поэтому следующие формулы $$ \left\{\begin{array}{rcl} h_{k0}=H_k&=&c_{k-1}h_{k-1,k-1}+c_{k}h_{k-1,k-2}+\dots+c_{2k-2}h_{k-1,0}, \\ h_{k1}&=&-(c_{k}h_{k-1,k-1}+c_{k+1}h_{k-1,k-2}+\dots+c_{2k-1}h_{k-1,0}) \end{array} \right. $$ позволяют вычислить $ h_{k0} $ и $ h_{k1} $ посредством уже известных коэффициентов полинома $ \mathcal H_{k-1}(x) $.

Исключительные случаи

Алгоритм сведения вычисления $ \mathcal H_{k}(x) $ к вычислению двух ганкелевых полиномов меньших порядков не будет работать в случае $ H_{k-1}=0 $. Существует модификация алгоритма и для этого случая.

Т

Теорема. [3] Пусть $ H_{k-2} \ne 0, H_{k-1}=0 $. Если $ h_{k-1,1}=0 $, то

$$ \mathcal H_{k-1}(x) \equiv 0 $$ и $$ \mathcal H_k(x) \equiv \frac{h_{k2}}{H_{k-2}} \mathcal H_{k-2}(x) \, . $$ В противном случае $$ \mathcal H_{k-1}(x) \equiv \frac{h_{k-1,1}}{H_{k-2}}\mathcal H_{k-2}(x) $$ и $$ \mathcal H_k(x) \equiv \frac{1}{H_{k-2}^3} \left(H_kH_{k-2}h_{k-1,1}\mathcal H_{k-3}(x)- \left|\begin{array}{cccc} H_{k-2} & 0 & 0 & H_k \\ h_{k-2,1} & H_{k-2} & 0 & h_{k1} \\ h_{k-2,2} & h_{k-2,1} & H_{k-2} & h_{k2} \\ x^2 & x & 1 & 0 \end{array} \right| \mathcal H_{k-2}(x) \right) \, . $$

Последняя формула позволяет организовать рекурсивное вычисление $ \mathcal H_k(x) $ на основе уже вычисленных полиномов $ \mathcal H_{k-2}(x) $ и $ \mathcal H_{k-3}(x) $. Все содержащиеся в правой части константы, такие как $ h_{k-2,1} $, $ h_{k-2,2} $, $ h_{k-1,1} $ и $ h_{k1} $, либо уже определены как коэффициенты $ \mathcal H_{k-2}(x), \mathcal H_{k-3}(x) $, либо могут быть вычислены по формулам предыдущего пункта. Единственным исключением является $ h_{k2} $. Для определения этой величины используется следующий результат.

Т

Теорема [3]. Если $H_{k-2} \ne 0, H_{k-1} = 0 $, то:

$$ h_{k2}= -\frac{1}{H_{k-2}} \left| \begin{array}{llll} c_0 & c_1 & \dots & c_{k-2} \\ c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{k-3} & c_{k-2} & \dots & c_{2k-5} \\ c_{k} & c_{k+1} & \dots & c_{2k-2} \end{array} \right|^2 - \left| \begin{array}{llll} c_0 & c_1 & \dots & c_{k-1} \\ c_1 & c_2 & \dots & c_{k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{k-2} & c_{k-1} & \dots & c_{2k-3} \\ c_{k+1} & c_{k+2} & \dots & c_{2k} \end{array} \right|= $$ $$ =-\frac{1}{H_{k-2}}\left(\sum_{j=0}^{k-2} h_{k-2,j} c_{2k-j-2} \right)^2- \sum_{j=1}^{k-1}h_{k-1,j}c_{2k-j} \, . $$

Ортогональные полиномы

Рассмотрим линейное пространство $ \mathbb P_{n} $ полиномов одной переменной степеней $ \le n_{} $ с вещественными коэффициентами.

В этом пространстве скалярное произведение можно вводить разными способами. Так, если полиномы представлены в канонической форме2) $$ p(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots + a_n \quad \mbox{ и } \quad q(x)=b_{0}x^n+b_1x^{n-1}+\dots + b_n \ , $$ то их скалярное произведение можно ввести

1. формулой $$ \langle p(x), q(x) \rangle = \sum_{j=0}^n a_j b_j \, . $$ С другой стороны, можно взять за определение и

2. формулу $$ \langle p(x), q(x) \rangle = \int_{a}^b p(t)q(t) d\,t $$ при некоторых фиксированных вещественных константах $ a_{} $ и $ b_{} $, $ a_{}<b $. Или же, как обобщение, $$ \langle p(x), q(x) \rangle = \int_{a}^b h(t) p(t)q(t) d\,t $$ при некоторой весовой функции $ h(x) $: $$ h(x) \ge 0 \quad \mbox{при} \ x\in [a,b], \quad 0 < \int_{a}^b h(t) d\, t < \infty \, . $$

Наконец, для полиномов, заданных не своими каноническими формами, а таблицами значений $$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_{n+1} \\ \hline y & p(x_1) & p(x_2) &\dots & p(x_{n+1}) \end{array} \quad \mbox{ и } \quad \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_{n+1} \\ \hline y & q(x_1) & q(x_2) &\dots & q(x_{n+1}) \end{array} $$ (при всех $ \{x_j\}_{j=1}^{n+1} \subset \mathbb R $ различных) можно использовать и

3. определение $$ \langle p(x), q(x) \rangle = \sum_{j=1}^{n+1} p(x_j)q(x_j) \, . $$

Т

Теорема. При выборе в качестве скалярного произведения формул 2 или 3 матрица Грама системы полиномов

$$ \{1,x,x^2,\dots,x^n \} $$ будет ганкелевой.

П

Пример. Для скалярного произведения

$$ \langle p(x),q(x) \rangle =\int_0^1 p(t) q(t) d\,t \ ,$$ матрица Грама из теоремы имеет вид $$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1/2 & 1/3 & \dots & 1/(n+1) \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 & \dots & 1/(n+2) \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1/(n+1) & 1/(n+2) & 1/(n+3) & \dots & 1/(2n+2) \end{array} \right) \ . $$ Эта матрица известна как матрица Гильберта.

П

Пример. Для скалярного произведения

$$ \langle p(x), q(x) \rangle = \sum_{j=1}^{n+1} p(x_j)q(x_j) $$ матрица Грама из теоремы имеет вид $$ \left( \begin{array}{ccccc} n+1 & \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j & \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j^2 & \dots & \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j^n \\ \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j & \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j^2 & \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j^3 & \displaystyle \dots & \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j^{n+1} \\ \vdots & & & & \vdots \\ \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j^n & \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j^{n+1} & \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j^{n+2} & \dots & \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1}x_j^{2n} \end{array} \right) \ . $$

Заметим, что при выборе в качестве скалярного произведения формулы 1 матрица Грама системы полиномов $ \{1,x,x^2,\dots,x^n \} $ уже не будет ганкелевой. В чем принципиальная особенность определения скалярного произведения в $ \mathbb P_n $ именно посредством ганкелевой матрицы? — В том, что таким образом определенное скалярное произведение обеспечивает выполнение равенства $$ \langle x p(x), q(x) \rangle = \langle p(x), xq(x) \rangle $$ для произвольных полиномов степеней $ \le n $. Практические приложения ортогональнях полиномов концентрируются именно вокруг такого — ганкелевого — варианта матрицы Грама; ни в одном учебнике по теории не встречал другого варианта.

Алгоритм ортогонализации системы полиномов $ \{1,x,x^2,\dots,x^n \} $ с ганкелевой матрицей Грама $$ H=\left[ c_{j+k-2} \right]_{j,k=1}^{n+1} \ , \mbox{ при } \ c_{j+k-2}=\langle x^j,x^k \rangle $$ можно интерпретировать как вычисление ганкелевых полиномов: см. упражнение 5 ЗДЕСЬ: $$ \mathcal H_1(x; \{c\})= \left| \begin{array}{ll} c_0 & c_1 \\ 1 & x \end{array} \right|,\ \mathcal H_2(x; \{c\})= \left| \begin{array}{lll} c_0 & c_1 & c_2 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ 1 & x & x^2 \end{array} \right|,\ \dots, \ $$ $$ \mathcal H_k(x; \{c\}) = \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k} \\ c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k+1} \\ \vdots & & & \ddots& \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-1} \\ 1 & x & x^2 & \ldots & x^{k} \end{array} \right|_{(k+1) \times (k+1)} $$

Т

Теорема. Пусть в пространстве $\mathbb P_n $ скалярное произведение введено таким образом, чтобы матрица Грама системы полиномов $ \{1,x,x^2,\dots,x^n \} $ была ганкелевой. Любые три полинома

$$ P_{k-2}(x), P_{k-1}(x), P_{k}(x) $$ последовательности ортогональных полиномов $$ P_0(x),P_1(x),\dots, \quad \mbox{ где } \ \deg P_j(x)=j $$ в таком пространстве связаны рекуррентным соотношением $$ P_k(x)\equiv (A_k x +B_k) P_{k-1}(x)-C_k P_{k-2}(x) $$ при некоторых константах $ \{A_k,B_k,C_k\} \subset \mathbb R $.

Очевидно сходство этого результата с JJ-тождеством. По крайней мере, выражения для констант $ A_k $ и $ C_k $ согласуются: если $ p_{j0} $ обозначает старший коэффициент полинома $ P_j(x)$, то $$ A_k= \frac{p_{k0}}{p_{k-1,0}}=\frac{H_k}{H_{k-1}}, \ C_k=\left[\frac{p_{k0}}{p_{k-1,0}}\right]^2 =\frac{H_k^2}{H_{k-1}^2} \, . $$ А вот с вычислением константы $ B_k $ дело обстоит интереснее. Для ее представления в учебниках по ортогональным полиномам традиционно предлагается использовать свойство ортогональности полинома $ P_{k-1}(x) $ полиномам $ P_k(x) $ и $ P_{k-2}(x) $: $$ \langle P_{k-1}(x),P_k(x)\rangle =0, \ \langle P_{k-1}(x),P_{k-2}(x)\rangle =0 \quad {\color{Red} \Rightarrow } \langle P_{k-1}(x),(A_kx+B_k)P_{k-1}(x) \rangle =0 \, . $$ Откуда получаем $$ B_k=-A_k \frac{\langle P_{k-1}(x),x P_{k-1}(x) \rangle}{\langle P_{k-1}(x), P_{k-1}(x) \rangle} \, . $$ И это представление отличается по виду от его аналога из JJ-тождества. Тем не менее, какая-то связь между этими константами должна наличествовать. И действительно, можно вывести3) из детерминантного представления константы из JJ-тождества ее представление $ B_k $ посредством скалярного произведения.

А какое же из этих двух представлений экономнее с вычислительной точки зрения? Если выражения для матрицы Грама и для $ P_{k-1}(x) $ известны, то для скалярного произведения, определенного формулой 3 , получим $$ \langle P_{k-1}(x), P_{k-1}(x) \rangle = \sum_{j=1}^{n+1} P_{k-1}^2(x_j) \, . $$ Таким образом, необходимо вычислить $ n+1 $ значение полинома $ P_{k-1}(x) $, что, фактически, эквивалентно вычислению такого же количества стандартных скалярных произведений в $\mathbb R^{k} $: $$ \langle (x_j^{k-1},x_j^{k-2},\dots, x_j,1),(p_{k-1,0},p_{k-1,1},\dots, p_{k-1,k-1}) \rangle \, . $$ Примерно такая же оценка в стандартных скалярных произведениях имеет место и для случая скалярного произведения вводимого формулой 2 . В то же время, для определения константы $ \widetilde B_k $ из JJ-тождества $$ \mathcal H_{k}(x) \equiv\Bigg( \frac{H_k}{H_{k-1}}x+\underbrace{\frac{h_{k,1}}{H_{k-1}} - \frac{H_kh_{k-1,1}}{H_{k-1}^2}}_{\widetilde B_k} \Bigg) \mathcal H_{k-1}(x) - \frac{H_k^2}{H_{k-1}^2} \mathcal H_{k-2}(x) $$ достаточно вычислить всего $ 2 $ стандартных скалярных произведения: $$ \left\{\begin{array}{lcl} H_k&=&c_{k-1}h_{k-1,k-1}+c_{k}h_{k-1,k-2}+\dots+c_{2k-2}h_{k-1,0}, \\ h_{k1}&=&-(c_{k}h_{k-1,k-1}+c_{k+1}h_{k-1,k-2}+\dots+c_{2k-1}h_{k-1,0}) \end{array} \right. $$ при условии, что коэффициенты $ \mathcal H_{k-1}(x) $ нам известны.

Выводы:

1. Наличие трехчленной рекурсивной формулы для ортогональных полиномов в случае ганкелевости их матрицы Грама, является следствием не их ортогональности, а именно их ганкелевости.

2. JJ-тождество позволяет рекурсивно вычислять ганкелевы полиномы не только в случае положительной определенности ганкелевой матрицы (условие, являющееся необходимым для матрицы Грама системы линейно независимых полиномов), но и в случае невырожденности всех ее главных миноров. Доказательство теоремы Якоби-Йоахимшталя свободно от всяких соображений, связанных с ортогональностью.

3. Константы в рекурсивной формуле, связывающей ганкелевы полиномы, выгоднее вычислять по последним из приведенных выше формул.

Источники

[1]. Jacobi C.G.J. De eliminatione variabilis e duabus aequationibus algebraicis. J. Reine Angew. Math. 1836, Bd. 15, S. 101-124.

[2]. Joachimsthal F. Bemerkungen über den Sturm'schen Satz. J.reine angew. Math. 1854. Bd. 48, S. 386-416

[3]. Uteshev A., Baravy I., Kalinina E. Rational Interpolation: Jacobi's Approach Reminiscence. Symmetry, 2021, 13 (8), 1401 Текст symmetry-13-01401.pdf

[4]. Chihara T.S. An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon and Beach, 1978

1)
В современных обозначениях и с небольшим дополнением.
2)
Здесь допустимо $ \deg p(x) < n, \deg q(x) < n $
3)
Хотя и громоздко.
algebra2/hankel/jjidentity.txt · Последние изменения: 2023/12/17 12:27 — au