Вспомогательная страница к пункту ☞ РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПО МЕТОДУ ЯКОБИ.

Обозначим $$ W(x) = \prod_{j=1}^N (x-x_j) \ . $$

Теорема. Пусть $ \left\{ y_j \ne 0 \right\}_{j=1}^N $. Вычислим последовательности

$$ \left\{ \tau_k=\sum_{j=1}^N y_j \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)} \right\}_{k=0}^{2m} \quad \mbox{ и } \quad \left\{ \widetilde \tau_k=\sum_{j=1}^N \frac{1}{y_j} \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)} \right\}_{k=0}^{2n-2} \, , $$ и построим соответствующие им ганкелевы полиномы $ \mathcal H_m (x;\{\tau\}) $ и $ \mathcal H_n (x;\{\widetilde \tau\}) $. Если $$ H_{n}(\{\widetilde \tau\}) \ne 0 $$ и $$ \left\{ \mathcal H_m (x_j;\{\tau\})\ne 0 \right\}_{j=1}^{N} , $$ то существует единственное решение задачи рациональной интерполяции при $$ \deg p(x)=n, \deg q(x) \le m=N-n-1 \, .$$ Это решение можно представить в виде $$ p(x) = H_{m+1}(\{\tau\}) \mathcal H_n (x;\{\widetilde \tau\}) = $$ $$ =\left| \begin{array}{llll} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\ \tau_{m} & \tau_{m+1} & \dots & \tau_{2m} \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{llll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_n \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n & \dots & \widetilde \tau_{2n-1} \\ 1 & x & \dots & x^n \end{array} \right| \, , $$ $$ q(x) = H_{n}(\{\widetilde \tau\}) \mathcal H_m (x;\{\tau\}) = $$ $$ =\left| \begin{array}{llll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_{n-1} \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n & \dots & \widetilde \tau_{2n-2} \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{llll} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\ 1 & x & \dots & x^m \end{array} \right| \, . $$

Доказательство. Ограничимся только обоснованием появления ганкелевых полиномов в решении задачи. Если ее решение существует, то выполняются условия $$ p_n+p_{n-1}x_j +\dots+p_0 x_j^n=q_m y_j +q_{m-1}x_jy_j+\dots+ q_0 x_j^{m}y_j \quad \mbox{при} \ j\in\{1,\dots, N\} . $$ Умножим $ j $-е равенство на $ x_j^k/W^{\prime}(x_j) $ пои $ k \in \{0,\dots, m-1 \} $ и просуммируем полученные соотношения по $ j $. На основании равенств Эйлера-Лагранжа получаем $$ \left\{ \begin{array}{lllll} q_m \tau_0 & + q_{m-1} \tau_1 & + \dots & + q_0 \tau_m &=0, \\ q_m \tau_1 & + q_{m-1} \tau_2 & + \dots & + q_0 \tau_{m+1} &=0, \\ \dots & & & & \dots , \\ q_m \tau_{m-1} & + q_{m-1} \tau_m & + \dots & + q_0 \tau_{2m-1} &=0. \end{array} \right. $$ Следовательно знаменатель дроби должен удовлетворять равенству: $$ Aq(x) \equiv \left| \begin{array}{llll} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\ 1 & x & \dots & x^m \end{array} \right| $$ при некоторой константе $ A $.

Аналогично, домножая равенства $$ p_n\frac{1}{y_j}+p_{n-1}\frac{x_j}{y_j} +\dots+p_0 \frac{x_j^{n}}{y_j}=q_m +q_{m-1}x_j+\dots+ q_0 x_j^{m} \quad, \quad j \in \{1,\dots,N\} $$ на $ x_j^{\ell}/W^{\prime}(x_j) $ при $ \ell \in \{0,\dots, n-1 \} $ и суммируя получившиеся соотношения по $ j $, получаем представление числителя в виде $$ Bp(x) \equiv \left| \begin{array}{llll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_n \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_{n} & \dots & \widetilde \tau_{2n-1} \\ 1 & x & \dots & x^n \end{array} \right|\equiv H_n(\{\widetilde \tau\}) x^n + \dots $$ при некоторой константе $ B $. Из условия теоремы следует, что $ B \ne 0 $ и $ \deg p(x) = n $.

Теперь осталось определить константы $ A $ и $ B $, а точнее — их отношение. С этой целью подставляем полученные выражения для $ p(x) $ и $ q(x) $ в интерполяционную таблицу, получаем соотношения $$ A \mathcal H_n(x_j;\{\widetilde \tau\}) = B y_j \mathcal H_m(x_j; \{\tau\}) \quad \mbox{ для } \ j \in \{1,\dots N \} \, . $$ По условиям теоремы $ A\ne 0 $ и $ \{ \mathcal H_n(x_j;\{\widetilde \tau\}) \ne 0 \}_{j=1}^N $. Умножим каждое из равенств на $ x_j^m/W^{\prime}(x_j) $ и просуммируем полученное. На основании линейного свойства определителя имеем: $$ \sum_{j=1}^N \frac{ \mathcal H_n(x_j;\{\widetilde \tau\}) x_j^m}{W^{\prime}(x_j)}= $$ $$ = \left|\begin{array}{ccccc} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_n & \widetilde \tau_{n+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_{n} & \dots & \widetilde \tau_{2n-2} & \widetilde \tau_{2n-1} \\ \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{ x_j^m}{W^{\prime}(x_j)} & \displaystyle \sum_{j=1}^N\frac{x_j^{m+1}}{W^{\prime}(x_j)} & \dots & \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{ x_j^{m+n-1}}{W^{\prime}(x_j)} & \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{ x_j^{m+n}}{W^{\prime}(x_j)} \end{array} \right|= $$ На основании равенств Эйлера-Лагранжа получим $$ = \left|\begin{array}{lllll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_n & \widetilde \tau_{n+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_{n} & \dots & \widetilde \tau_{2n-2} & \widetilde \tau_{2n-1} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{array} \right| = H_n(\{\widetilde \tau \}) \, . $$ Аналогично: $$ \sum_{j=1}^N \frac{\mathcal H_m(x_j;\{\widetilde \tau \}) y_jx_j^m}{W^{\prime}(x_j)}= $$ $$ = \left|\begin{array}{cccc} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\ \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{ y_jx_j^m}{W^{\prime}(x_j)} & \displaystyle \sum_{j=1}^N\frac{y_jx_j^{m+1}}{W^{\prime}(x_j)} & \dots & \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{ y_jx_j^{2m}}{W^{\prime}(x_j)} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{llll} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\ \tau_{m} & \tau_{m+1} & \dots & \tau_{2m} \end{array} \right| \, . $$ Таким образом, $$ AH_n(\{\widetilde \tau \})=BH_{m+1}(\{ \tau \}) \, . $$ Поскольку $ A \ne 0 $ и $ H_n(\{\widetilde \tau \}) \ne 0 $ то и $ H_{m+1}(\{ \tau \}) \ne 0 $, и полученное равенство доказывает единственность решения поставленной интерполяционной задачи.

Довольно громоздко доказывать, что построенные полиномы действительно обеспечивают выполнение равенств $$ \{p(x_j)=y_jq(x_j)\}_{j=1}^N \, . $$ Для $ j=1 $ это производится посредством доказательства равенств $$ H_{m+1}(\{\tau\})= (-1)^{N(N-1)/2}H_{n}(\{ \widetilde \tau\}) \prod_{j=1}^N y_j \, $$ и $$ \mathcal H_m(x_1;\{\tau\}) = (-1)^{N(N-1)/2}\mathcal H_n(x_1;\{\widetilde \tau\}) \prod_{j=2}^N y_j \, . $$ Подробности вывода см. ☞ [2] . ♦

Справедливы следующие равенства

$$ H_{n}(\{\widetilde \tau\}) H_{m}(\{\tau\})=H_{n+1}(\{\widetilde \tau\}) H_{m+1}(\{\tau\}) \, . $$

Источники