1. В пространстве $ \mathbb P_{n} $ полиномов степеней $ \le n $ с вещественными коэффициентами выделяется подпространство полиномов таких, что $ p(a)=p(b) $ при фиксированных $ a_{} $ и $ b_{} $, $ a<b_{} $. Можно ли в этом подпространстве определить скалярное произведение формулой $$\langle p(x),q(x) \rangle = \int_{a}^b p(t)d\, q(t) \ ? $$

2. Может ли в пространстве $ \mathbb R^{3} $ скалярное произведение векторов $ X_1=(1,1,1),\ X_2=(1,0,-1),\ X_3=(2,1,1) $ задаваться так, чтобы матрица Грама имела вид $$ G(X_1,X_2,X_3)= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \ ? $$ Если да, то чему равно тогда скалярное произведение векторов $ (1,2,3) $ и $ (-3,-2,-1) $ ?

3. В пространстве полиномов $ \mathbb P_2 $ скалярное произведение задано формулой $$ \langle a_0x^2+a_1x+a_2,b_0x^2+b_1x+b_2 \rangle=a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2 \ . $$ Ортогонализовать систему полиномов $$ \{ (x+1)(x+2),\ x(x+2),\ x(x+1) \} \ . $$

4. Найти множество точек пространства $ \mathbb R^{3} $ равноудаленных от плоскостей $$ x_1+2\, x_2+3\, x_3=0 \qquad \mbox{ и } \qquad x_1+x_2+x_3=0 \, . $$

5. Доказать, что процесс ортогонализации векторов $ X_1,X_2,\dots $ может быть записан с помощью аппарата определителей в виде: $$ \mathfrak E_1= X_1, \ \mathfrak E_2=\frac{ \left|\begin{array}{cc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle \\ X_1 & X_2 \end{array} \right|}{\langle X_1,X_1 \rangle}, \ \mathfrak E_3=\frac{ \left|\begin{array}{ccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \langle X_1,X_3 \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \langle X_2,X_3 \rangle \\ X_1 & X_2 & X_3 \end{array} \right|}{ \left|\begin{array}{cc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle \end{array} \right|}, \dots $$ Здесь предполагается, что каждый определитель числителя формально раскладывается по элементам последней строки.

Подсказка. См. задачу 7 ☞ ЗДЕСЬ.

6. Ортогонализовать систему векторов в $ \mathbb R^n $: $$ [-1,1,0,\dots,0],\ [-1,0,1,\dots,0],\dots, [-1,0,0,\dots,1] \, . $$ Скалярное произведение задано стандартным способом.

7. Для пространства матриц $ \mathbb R^{2\times 2} $ и скалярного произведения $$ \langle A,B \rangle = \sum_{j,k=1}^2 a_{jk}b_{jk} \, . $$ построить ортонормированный базис, состоящий из ортогональных матриц.