Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ОБРАТНАЯ МАТРИЦА


Задачи

Вычислить обратные матрицы

1. $$ \left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ \vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)_{n \times n} \ . $$

2. $$ \left( \begin{array}{ccccccc} a & a & a & \dots & a & a & a \\ b & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 & \dots & 0 & 0 & a \\ \vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & b & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & b & a \end{array} \right)_{n \times n} \ . $$ 3. $$ \left( \begin{array}{ccccccc} 2 & 2 & 2 & 2 & \dots & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & \dots & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 4 & \dots & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 5 & 5 \\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n+1 \\ \end{array} \right) \ . $$

4. $$ \left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & \dots & C_{n-2}^1 & C_{n-1}^1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & \dots & C_{n-2}^2 & C_{n-1}^2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & C_{n-2}^3 & C_{n-1}^3 \\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & C_{n-1}^{n-2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \ ; $$ здесь $ C_k^j $ означает биномиальный коэффициент.

5. $$ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a_1 \\ 0 & 1 & a_1 & a_2 \\ 1 & a_1 & a_2 & a_3 \end{array} \right) \ . $$

6 * . Задана матрица $$ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^n , \quad a_{ij}= \left\{ \begin{array}{cl} \frac{1}{x_i+x_j} & npu \quad i\ne j, \\ -\sum_{i\ne j} a_{i,j} & npu \quad i=j \end{array} \right. $$ Так, при $ n=3 $: $$ A=\left( \begin{array}{ccc} -\frac{1}{x_1+x_2}-\frac{1}{x_1+x_3} & \frac{1}{x_1+x_2} & \frac{1}{x_1+x_3} \\ \frac{1}{x_1+x_2} & -\frac{1}{x_1+x_2}-\frac{1}{x_2+x_3} & \frac{1}{x_2+x_3} \\ \frac{1}{x_1+x_3} & \frac{1}{x_2+x_3} & -\frac{1}{x_1+x_3} -\frac{1}{x_2+x_3} \end{array} \right) \, . $$ Доказать, что все элементы матрицы взаимной матрице $ A_{} $ одинаковы и найти их выражение.

7. Пусть столбец $ X=\left[x_1,\dots,x_n \right]^{\top} $ удовлетворяет системе линейных уравнений $$ AX+ \mathcal B = \mathbb O $$ при квадратной неособенной матрице $ A_{} $. Требуется вычислить величину $$ y=c_1x_1+\dots+c_nx_n + c_0 \, . $$ Доказать, что $$ y=\frac{\det \left(\begin{array}{cc} A & \mathcal B \\ C & c_0 \end{array} \right)}{\det A} \quad npu \quad C=[c_1,\dots,c_n] \, . $$

algebra2/inverse/problems.txt · Последние изменения: 2020/04/26 00:58 — au