Основное
Вспомогательная страница к пункту ☞ МАТРИЦА ОПЕРАТОРА.
Теорема. Если $ C_{} $ — матрица перехода от старого базиса к новому, то матрицы $ {\mathbf A} $ и $ {\mathbf B} $ оператора в старом и новом базисах связаны формулой: $$ {\mathbf B}=C^{-1}\cdot {\mathbf A} \cdot C \ . $$
Доказательство. Пусть $ \{X_{1},\dots,X_n \} $ — старый базис, $ \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n \} $ — новый базис и разложения вектора $ X_{} $ и его образа $ Y_{} $ в этих базисах имеют вид: $$X=x_1X_1+\dots+x_nX_n={\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n,$$ $$Y=\mathcal A (X)=y_1X_1+\dots+y_nX_n={\mathfrak y}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak y}_n{\mathfrak X}_n .$$ На основании результатов ☞ ПУНКТА, имеем: $$ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)=C \left(\begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right), \qquad \left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)=C \left(\begin{array}{c} {\mathfrak y}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak y}_n \end{array} \right). $$ Получаем цепочку равенств: $$ {\mathbf B}\left(\begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} {\mathfrak y}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak y}_n \end{array} \right) = C^{-1}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)= C^{-1} {\mathbf A} \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)= C^{-1} {\mathbf A}C \left(\begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right). $$ Равенство имеет место для любого столбца $ \left[{\mathfrak x}_1, \dots , {\mathfrak x}_n\right]^{^{\top}} $, и, в частности, для столбцов $$ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \ , \ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \ ,\dots, \ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right) \ . $$ Объединяя эти $ n_{} $ равенств в одно матричное, получим $ {\mathbf B} \cdot E=C^{-1}\cdot {\mathbf A} \cdot C \cdot E $, откуда и следует доказываемое. ♦