Основное
Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте —-
Вспомогательная страница к разделу ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
Теорема. Тетраэдр в $ \mathbb R^{3} $ задан вершинами $ P_1= (x_{1},y_1,z_1) ,P_2=(x_2,y_2,z_2) , P_3=(x_3,y_3,z_3) , P_4=(x_4,y_4,z_4) $. Справедлива формула Тартальи (Кэли-Менгера) для квадрата его объема через длины его ребер: $$ V^2=\frac{1}{288} \left| \begin{array}{ccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \ . $$
Доказательство. Перемножим два определителя $$ \underbrace{\left| \begin{array}{ccccc} (P_1,P_1) & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ (P_2,P_2) & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ (P_3,P_3) & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ (P_4,P_4) & x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right|}_{\det A} \cdot \underbrace{\left| \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ -2\,x_1 & -2\,x_2 & -2\,x_3 & -2\,x_4 & 0 \\ -2\,y_1 & -2\,y_2 & -2\,y_3 & -2\,y_4 & 0 \\ -2\,z_1 & -2\,z_2 & -2\,z_3 & -2\,z_4 & 0 \\ (P_1,P_1) & (P_2,P_2) & (P_3,P_3) & (P_4,P_4) & 1 \end{array} \right|}_{\det B} \ ; $$ здесь $ (P_j,P_j) = x_j^2+y_j^2+z_j^2 $ для $ j\in \{1,2,3,4\} $. С одной стороны, по теореме Бине-Коши, это произведение равно искомому определителю $$ \det (AB)= \left| \begin{array}{ccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \, . $$ С другой стороны, разложением $ \det A_{} $ (и $ \det B $) по последней строке (по последнему столбцу) получаем $$ \det A= \left| \begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|= -\left| \begin{array}{llll} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{array} \right| \ , \det B = \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2\,x_1 & -2\,x_2 & -2\,x_3 & -2\,x_4 \\ -2\,y_1 & -2\,y_2 & -2\,y_3 & -2\,y_4 \\ -2\,z_1 & -2\,z_2 & -2\,z_3 & -2\,z_4 \end{array} \right|=(-2)^3 \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \end{array} \right| \ . $$ Определители в правых частях равны шестикратному объему тетраэдра. ♦