Теорема [Птолемей]. Точки

$$ P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_2,y_2), P_3 =(x_{3},y_3), P_4=(x_{4},y_4) $$ лежат на одной окружности или на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство $$ \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 \end{array} \right|=0 . $$ Здесь $ |P_jP_k|^2=(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2 $.

Доказательство. Уравнение $$ \left| \begin{array}{llll} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1 \end{array} \right|=0 . $$ задает уравнение окружности, проходящей через точки $ P_1,P_2,P_3 $ или, в случае коллинеарности этих точек, прямой, через них проходящей. Точка $ P_4 $ будет лежать на той же окружности (соответственно, прямой) тогда и только тогда, когда определитель матрицы $$ W= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3& y_4 \\ x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2& x_4^2+y_4^2 \end{array} \right) $$ обращается в нуль. Составим вспомогательную матрицу $$ \tilde W= \left( \begin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & -2\,x_1 & -2\,y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & -2\,x_2 & -2\,y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & -2\,x_3 & -2\,y_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2 & -2\,x_4 & -2\,y_4 & 1 \end{array} \right) \ ; $$ очевидно: $$ \det (\tilde W)=-4 \det (W) \ . $$ Произведение матриц дает матрицу из условия теоремы $$ \tilde W \cdot W = \left( \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 \end{array} \right) \ . $$ По теореме Бине-Коши ее определитель равен $$ - 4 \, [\det (W)]^2 \ . $$ ♦

В литературе более известна другая формулировка теоремы.

Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон.

Доказательство. Эквивалентность двух формулировок следует из равенства $$ \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 \end{array} \right|= $$ $$ -\left(|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|+|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \right)\times $$ $$ \times \left(|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|-|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \right) \times $$ $$ \times \left(|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|-|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|+|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \right) \times $$ $$ \times \left(-|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|+|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \right) \ . $$ Первый сомножитель в нуль не обращается. Каждый из трех оставшихся имеет одинаковую структуру. Мы заранее не знаем как занумерованы вершины четырехугольника. Один из сомножителей как раз и отвечает ситуации «сумма произведений длин противоположных сторон минус произведение длин диагоналей» выпуклого четырехугольника. Покажем, к примеру, что если выпуклым является четырехугольник $ P_1P_2P_3P_4 $ то необходимо будет выполняться условие $$ |P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|=|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \ . $$ Для вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна $ 2\, \pi $; следовательно, существует сторона, два прилегающих угла к которой являются тупыми. Пусть этой стороной является $ P_2P_3 $ — как на рисунке. Очевидно, что $$ |P_1P_3|> |P_1P_2|,\ |P_1P_3|> |P_2P_3|,\ |P_2P_4|> |P_2P_3|,\ |P_2P_4|> |P_3P_4| \ . $$ Таким образом, $$ |P_1P_3| \cdot |P_2P_4| > |P_1P_2| \cdot |P_3P_4| \ , $$ и, следовательно, четвертый сомножитель положителен: $$ |P_2P_3|\cdot |P_1P_4|+|P_1P_3|\cdot |P_2P_4|-|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|> 0 \ . $$ С другой стороны выражение $$ |P_1P_3| \cdot |P_2P_4| - |P_2P_3|\cdot |P_1P_4|=|P_1P_3| ( |P_2P_4| - |P_2P_3|)-|P_2P_3|(|P_1P_4|-|P_1P_3|) $$ положительно при условии $ |P_1P_3|< |P_1P_4| $ поскольку $ |P_2P_4| > |P_2P_3| $. Если же $ |P_1P_4|>|P_1P_3| $, то из очевидного неравенства $$ |P_1P_3| + |P_2P_4|> |P_1P_4|+|P_2P_3| $$ следует $$|P_2P_4|-|P_1P_4|>|P_2P_3|-|P_2P_4| $$ и снова $$ |P_1P_3| \cdot |P_2P_4| - |P_2P_3|\cdot |P_1P_4|>(|P_1P_4|-|P_1P_3|)(||P_1P_3|-|P_2P_3|) >0 \ . $$ Таким образом, во всех случаях $ |P_1P_3| \cdot |P_2P_4| > |P_2P_3|\cdot |P_1P_4| $ и третий сомножитель положителен: $$ |P_1P_2|\cdot |P_3P_4|-|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|+|P_1P_3|\cdot |P_2P_4|>0 \ . $$ Таким образом, при данном обозначении вершин выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность, обязательно будет выполнено равенство $$ |P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_2P_3|\cdot |P_1P_4|=|P_1P_3|\cdot |P_2P_4| \ . $$ ♦

Теорема. Точки

$$ P_1=(x_{1},y_1,z_1) , P_2=(x_2,y_2,,z_2), P_3 =(x_{3},y_3,z_3),P_4=(x_4,y_4,z_4), P_5=(x_{5},y_5,z_5) $$ лежат на одной сфере или на одной плоскости тогда и только тогда, когда выполнено равенство $$ \left| \begin{array}{ccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & |P_1P_5|^2 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_2P_5|^2 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & |P_3P_5|^2 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & |P_4P_5|^2 \\ |P_1P_5|^2 & |P_2P_5|^2 & |P_3P_5|^2 & |P_4P_5|^2 & 0 \end{array} \right|=0 \ . $$ Здесь $ |P_jP_k|^2=(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2+(z_j-z_k)^2 $.

Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы из предыдущего пункта. Матрица $$ W= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\ y_1 & y_2 & y_3& y_4 & y_5 \\ z_1 & z_2 & z_3& z_4 & z_5 \\ x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_5^2+y_5^2+z_5^2 \end{array} \right) $$ имеет нулевой определитель тогда и только тогда, когда точки $ \{P_j\}_{j=1}^5 $ лежат на одной сфере или на одной плоскости. Определитель вспомогательной матрицы $$ \tilde W= \left( \begin{array}{ccccc} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & -2\,x_1 & -2\,y_1 & -2\,z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & -2\,x_2 & -2\,y_2 & -2\,z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & -2\,x_3 & -2\,y_3 & -2\,z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & -2\,x_4 & -2\,y_4 & -2\,z_4 & 1 \\ x_5^2+y_5^2+z_5^2 & -2\,x_5 & -2\,y_5 & -2\,z_5 & 1 \end{array} \right) $$ равен $ 8\,\det (W) $. Произведение матриц $ \tilde W \cdot W $ дает матрицу из условия теоремы. ♦

Пусть в произвольном евклидовом пространстве $ \mathbb E $ задана система точек $ \{P_1,\dots,P_m\} $. Матрица $$ \left[ |P_jP_k| \right]_{j,k=1}^m =\left( \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2| & \dots & |P_1P_m| \\ |P_1P_2| & 0 & \dots & |P_2P_m| \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ |P_1P_m| & |P_2P_m| & \dots & 0 \end{array} \right) $$ называется матрицей расстояний этой системы. Иногда в качестве матрицы расстояний берут матрицу $$ \mathfrak D=\left[ |P_jP_k|^2 \right]_{j,k=1}^m =\left( \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & \dots & |P_1P_m|^2 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & \dots & |P_2P_m|^2 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ |P_1P_m|^2 & |P_2P_m|^2 & \dots & 0 \end{array} \right) \ , $$ состоящую из квадратов расстояний, т.е. как раз ту, что рассматривается в теореме Птолемея.

Теорема. Пусть в пространстве $ \mathbb R^{n}_{} $ даны точки

$$ \{P_j=(x_{j1},x_{j2},\dots,x_{jn}) \}_{j=1}^m $$ и расстояние определяется формулой $$ |P_jP_k|^2=\sum_{i=1}^n (x_{ji}-x_{ki})^2 \ . $$ Тогда в случае $ m>n+2 $ имеем $ \det (\mathfrak D)=0 $. В случае $ m=n+2 $ условие $ \det (\mathfrak D)=0 $ необходимо и достаточно для того, чтобы точки $ \{P_j\}_{j=1}^m $ лежали на одной сфере или же на одном линейном многообразии (гиперплоскости) в $ \mathbb R^{n}_{} $.

Доказательство. По аналогии с доказательствами теорем предыдущих пунктов составим матрицы $$ W= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{11} & x_{21} & \dots & x_{m1} \\ x_{12} & x_{22} & \dots & x_{m2}\\ \dots & & & \dots \\ x_{1n} & x_{2n} & \dots & x_{mn} \\ x_{11}^2+x_{12}^2+\dots + x_{1n}^2 & x_{21}^2+x_{22}^2+\dots + x_{2n}^2 & \dots & x_{m1}^2+x_{m2}^2+\dots + x_{mn}^2 \end{array} \right)_{(n+2)\times m} $$ и $$ \tilde W= \left( \begin{array}{cccccc} x_{11}^2+x_{12}^2+\dots + x_{1n}^2 & -2\,x_{11} & -2\,x_{12} & \dots & -2\,x_{1n} & 1 \\ x_{21}^2+x_{22}^2+\dots + x_{2n}^2 & -2\,x_{21} & -2\,x_{22} & \dots & -2\,x_{2n} & 1 \\ \dots & & & & & \dots \\ x_{m1}^2+x_{m2}^2+\dots + x_{mn}^2 & -2\,x_{m1} & -2\,x_{m2} & \dots & -2\,x_{mn} & 1 \end{array} \right)_{m\times (n+2)} \ . $$ В отличие от предыдущих пунктов, при $ m\ne n+2 $ эти матрицы не являются квадратными. Тем не менее, произведение $ \tilde W \cdot W $ является квадратной матрицей порядка $ m_{} $. По теореме Бине-Коши, в случае $ m>n+2 $ будет выполнено $ \det( \tilde W \cdot W)=0 $. В случае $ m=n+2 $ обе матрицы будут квадратными при $$ \det (\tilde W) = (-1)^{n+1}2^n \det (W) \ . $$ Таким образом, $$ \det (\mathfrak D)=(-1)^{n+1}2^n [\det (W)]^2 \ . $$ ♦

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948