Везде в настоящем разделе норма векторов — евклидова, норма матриц — Фробениуса: $$ \| A_{m\times n} \|:= \sqrt{\sum_{j,k} |a_{jk}|^2} \ .$$ Характеристический полином квадратной матрицы $ A $ будем обозначать $ f_A(\lambda):=\det(A-\lambda E) $.

В различных приложениях существенны три критические расстояния от матрицы $ A \in \mathbb R^{n\times n} $ до многообразий в $ \mathbb R^{n\times n} $:

(а) до множества вырожденных матриц: $$ \det B=0 \, ; $$

(б) до множества $ \mathbb D $ матриц, имеющих кратные собственные числа: $$ \mathbb D= \{B \in \mathbb R^{n\times n} \mid \ \mathcal D_{\lambda} (f_B(\lambda))=0 \} \, . $$ Здесь $ \mathcal D $ — дискриминант.

(в) до множества матриц, каждая из которых имеет пару собственных чисел разных знаков.

Последняя задача обычно ставится для устойчивых по Раусу-Гурвицу матриц $ A $, т.е. для таких матриц, у которых характеристический полином $ f_A(\lambda) $ устойчив (по Раусу-Гурвицу). В этом случае искомое расстояние называется расстоянием до неустойчивости или радиусом устойчивости¹⁾.

Задача. Для заданных матрицы $ A \in \mathbb R^{m\times n} $ и столбцов $ \mathcal B \in \mathbb R^m $ и $ X_0 \in \mathbb R^n $ таких, что $$ AX_0 \ne \mathcal B, X_0 \ne \mathbb O $$ требуется построить матрицу $ H \in \mathbb R^{m\times n} $ минимальной нормы такую, что $$ (A+H)X_0 = \mathcal B \, . $$

Теорема. Единственным решением поставленной задачи является матрица ранга 1

$$ H_{\ast}=\frac{1}{\|X_0\|^2} \left( \mathcal B - AX_0\right)X_0^{\top} \, . $$ При этом $$ \| H_{\ast} \|= \frac{\|\mathcal B - AX_0\|}{\|X_0\|} \, . $$

Теорема. Расстояние от невырожденной матрицы $ A $ до многообразия $ \det B=0 $ равно минимальному сингулярному числу матрицы $ A $, т.е. $ \sqrt{z_{\ast}} $, где $ z_{\ast} $ — минимальный положительный корень уравнения

$$ \det(A^{\top}A-zE)=0 \, . $$

Возмущение: $$ \mathfrak E_{\ast}=-AV_{\ast}V_{\ast}^{\top} $$ где столбец $ V_{\ast} $ — левый сингулярный вектор матрицы $ A $, т.е. собственный вектор матрицы $ A^{\top}A $ единичной длины: $$ A^{\top}A V_{\ast} = z_{\ast} V_{\ast}, \ \|V_{\ast}\|=1 \, . $$

Расстояние от матрицы $ A $ до ближайшей матрицы $ B $, имеющей вещественное собственное число $ \lambda_0 $, равно минимальному сингулярному числу матрицы $ A-\lambda_0 E $.

Расстояние от симметричной матрицы $ A $ до многообразия $ \det B=0 $ равно $ |\lambda_1| $, где $ \lambda_1 $ — ближайшее к $ 0 $ собственное число матрицы $ A $.

Задача. Для матрицы $ A $ найти ближайшую ортогональную матрицу.

Задача известна как ортогональная задача Прокруста²⁾ — по имени персонажа древнегреческого мифа.

Higham N.J. Matrix Nearness Problems and Applications. 1989 higham.pdf

Тихонов А.Н. О приближенных системах линейных алгебраических уравнений. Журнал выч.мат. и матем. физ. 1980, Т.20, N 6, c. 1373-1383.