Инструменты сайта


Страница — в разработке; начало работ — 06.04.2022, окончание — ??.??.????

Расстояние в пространстве матриц

Везде в настоящем разделе норма матриц — Фробениуса: $$\| A \|:= \sqrt{\sum_{j,k} |a_{jk}|^2} \ .$$ Характеристический полином будем обозначать $ f_A(\lambda):=\det(A-\lambda E) $.

В различных приложениях существенны три критические расстояния от матрицы $ A \in \mathbb R^{n\times n} $ до многообразий в $ \mathbb R^{n\times n} $:

(а) до множества вырожденных матриц: $$ \det B=0 \, ; $$

(б) до множества $ \mathbb D $ матриц, имеющих кратные собственные числа: $$ \mathbb D= \{B \in \mathbb R^{n\times n} \mid \ \mathcal D_{\lambda} (f_B(\lambda))=0 \} \, . $$ Здесь $ \mathcal D $ — дискриминант.

(в) до множества матриц, каждая из которых имеет пару собственных чисел разных знаков.

Последняя задача обычно ставится для устойчивых по Раусу-Гурвицу матриц $ A $, т.е. для таких матриц, у которых характеристический полином $ f_A(\lambda) $ устойчив (по Раусу-Гурвицу). В этом случае искомое расстояние называется расстоянием до неустойчивости или радиусом устойчивости1).

Расстояние до вырожденности

Т

Теорема. Расстояние от $ A $ до многообразия $ \det B=0 $ равно минимальному сингулярному числу матрицы $ A $, т.е. $ \sqrt{z_{\ast}} $, где $ z_{\ast} $ — минимальный положительный корень уравнения

$$ \det(A^{\top}A-zE)=0 \, . $$

Возмущение: $$ \mathfrak E_{\ast}=-AV_{\ast}V_{\ast}^{\top} $$ где столбец $ V_{\ast} $ — собственный вектор матрицы $ A^{\top}A $: $$ A^{\top}A V_{\ast} = z_{\ast} V_{\ast}, \ \|V_{\ast}\|=1 \, . $$

=>

Расстояние от устойчивой симметричной матрицы $ A $ до многообразия $ \det B=0 $ равно $ |\lambda_1| $, где $ \lambda_1 $ — ближайшее к нулю (отрицательное) собственное число матрицы $ A $.

1)
(англ.) stability radius
algebra2/optimiz/distance/matrix_dist.txt · Последние изменения: 2022/05/06 22:42 — au