Основное
Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте
Вспомогательная страница к разделу ☞ ФУНКЦИЯ ОТ МАТРИЦЫ
Теорема. Ряд $ \sum_{j=0}^{\infty} b_j Z^j $ сходится для любой матрицы $ A $ чей спектр лежит внутри круга сходимости: $$ |\lambda_j|<R \quad npu \quad j\in \{1,\dots,n\} ; $$ и расходится если хотя бы одно число оказывается за пределами этого круга: $$ \exists j \in \{1,\dots,n\} \quad \mbox{ такое, что } \quad |\lambda_j|>R \, . $$
Доказательство. Для матрицы $ A $ найдем ЖНФ: $$C^{-1} A C =A_{\mathfrak J}= \left( \begin{array}{cccc} \mathbf A_1 & \mathbb O & \dots & \mathbb O \\ \mathbb O & \mathbf A_2 & \dots & \mathbb O \\ & & \ddots & \\ \mathbb O & \mathbb O & \dots & \mathbf A_{{\mathfrak r}} \end{array} \right) $$ где каждая из составляющих матриц $ \mathbf A_j $ включает в себя некоторое количество клеток Жордана вида $$ {\mathfrak J}_k (\lambda_j) = \left( \begin{array}{cccccc} \lambda_j & & & & & \\ 1 & \lambda_j & & & \mathbb O & \\ 0 & 1 & \lambda_j & & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots& & \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & \lambda_j \end{array} \right)_{k \times k} $$ Если мы докажем, что существует $ F\left( A_{\mathfrak J}\right) $, то утверждение теоремы будет следовать из теоремы \ref{MATSeRt6}. Чтобы избежать громоздкости будем опускать индекс у $ \lambda_j $. Вновь рассмотрим $ N $-ю частичную сумму ряда $ F_N(z)=\sum_{j=0}^{N} b_j z^j $. Вычисление матричного полинома $ F_N\left(A_{\mathfrak J}\right) $ сводится к вычислению его значения на клетке Жордана. На основании формулы (\ref{MATPoL_e3}) получаем: $$ F_N\left( {\mathfrak J}_k (\lambda) \right)= $$ $$ = \left[ \begin{array}{ccccc} F_N(\lambda) & & & & \\ F_N'(\lambda) & F_N(\lambda) & & \mathbb O & \\ \frac{F_N''(\lambda)}{2!}& F_N'(\lambda) & F_N(\lambda) & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \\ \frac{F_N^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} & \frac{F_N^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!} & \dots & F_N'(\lambda) & F_N(\lambda) \end{array} \right] {\operatorname{\longrightarrow} \atop {\scriptstyle N\to \infty}} \left[ \begin{array}{ccccc} F(\lambda) & & & & \\ F'(\lambda) & F(\lambda) & & \mathbb O & \\ \frac{F''(\lambda)}{2!}& F'(\lambda) & F(\lambda) & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \\ \frac{F^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} & \frac{F^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!} & \dots & F'(\lambda) & F(\lambda) \end{array} \right] $$ при $ |\lambda|<R $. Если же хоть одно собственное число лежит вне круга сходимости, то соответствующая последовательность $ \left\{ F_N\left( {\mathfrak J}_k (\lambda) \right) \right\}_{N=1}^{\infty} $ будет расходящейся.
Итак, при $ |\lambda_1|<R, \dots , |\lambda_n|<R $ существует $$ F(A)=\lim_{N\to \infty} F_N(A)=C \left( \begin{array}{cccc} F({\mathbf A}_1) & \mathbb O & \dots & \mathbb O \\ \mathbb O & F({\mathbf A}_2) & \dots & \mathbb O \\ & & \ddots & \\ \mathbb O & \mathbb O & \dots & F({\mathbf A}_{\mathfrak r}) \end{array} \right)C^{-1} $$ при блоках матриц $ F({\mathbf A}_j) $ определяемых с помощью (\ref{MATSeRe13}).