Основное
Вспомогательная страница к разделу ПОЛИНОМ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Теорема [Безу]. Полином общего вида $ n_{} $-й степени от $ \ell_{} $ переменных имеет
$$ C_{n+\ell}^{\ell}$$ коэффициентов.
Доказательство проведем индукцией по числу $\ell$ переменных. Для полинома одной переменной утверждение очевидно.
Пусть теорема справедлива для полинома $(\ell-1)$-й переменной. В разложении полинома $f$ самого общего вида степени $n$ от переменных $ x_1,\dots,x_{\ell} $ по степеням переменной $ x_1 $: $$ f(x_1,x_2,\dots,x_{\ell})= $$ $$ =a_0(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1} +a_1(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1-1}+\dots+a_{n_1}(x_2,\dots,x_{\ell}) $$ имеем $n_1=n$, а $$\deg a_m(x_2,\dots,x_{\ell})=m \quad \mbox{ при } \ m\in \{0,\dots,n\} \, . $$ По индукционному предположению, полином степени $m$ от переменных $x_2,\dots,x_{\ell}$ имеет, в общем случае, $C_{m+\ell-1}^{\ell-1}$ коэффициентов. Таким образом, после разложения каждого слагаемого правой части, в полиноме будет $$ C_{\ell-1}^{\ell-1}+C_{\ell}^{\ell-1}+C_{\ell+1}^{\ell-1}+\dots+C_{n+\ell-1}^{\ell-1} $$ мономов. Приведения подобных мономов не произойдет, поскольку каждое слагаемое имеет различные показатели для переменной $ x_1 $. На основании одного из равенств для суммы биномиальных коэффициентов, последняя сумма сворачивается в биномиальный коэффициент из теоремы.