Вспомогательная страница к разделу ☞ Вычисление расстояния между геометрическими объектами

Теорема. Пусть $ X^{\top} A_{1} X =1 $ и $ X^{\top} A_{2} X =1 $ – квадрики в $ {\mathbb R}^{n} $, причем первая является эллипсоидом. Квадрики не пересекаются тогда и только тогда, когда матрица $ A_{1}-A_{2} $ является знакоопределенной.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует точка $ X_0\in \mathbb R^n $ общая обеим поверхностям: $$ X_0^{\top} A_1 X_0=1 \ u \ X_0^{\top} A_2 X_0=1 \quad \Rightarrow \quad X_0^{\top} (A_1-A_2) X_0=0 \quad u \quad X_0\ne \mathbb O \ . $$ Следовательно матрица $ A_1-A_{2} $ не является знакоопределенной.

Достаточность. Пусть матрица $ A_1-A_{2} $ не является знакоопределенной. Тогда существует точка $ X_0\in \mathbb R^n, X_0 \ne \mathbb O $ такая, что $$ X_0^{\top} (A_1-A_2) X_0=0 \Rightarrow X_0^{\top} A_{1}X_0=X_0^{\top} A_2X_0 \ . $$ Последнее равенство останется справедливым и при домножении на константу $$ t^2=\frac{1}{X_0^{\top}A_1X_0} $$ (выражение в знаменателе положительно поскольку, по предположению теоремы, $ X^{\top} A_{1} X =1 $ определяет эллипсоид). Тогда для точки $ X=tX_0 $ имеем $$ X^{\top} A_1X=t^2X_0^{\top} A_1X_0=1 \quad u \quad X^{\top} A_2X=t^2X_0^{\top} A_2X_0=t^2X_0^{\top} A_1X_0=1 \ , $$ т.е. она принадлежит обеим квадрикам.

Если $ n $ четно и $ \det (A_2-A_1)<0 $, то эллипсоид $ X^{\top} A_{1} X =1 $ и квадрика $ X^{\top} A_{2} X =1 $ пересекаются.

Если эллипсоид $ X^{\top} A_{1} X =1 $ касается квадрики $ X^{\top} A_{2} X =1 $ хотя бы в одной точке, то необходимо $ \det (A_2-A_1) = 0 $.

Источник