1. Определить все вещественные значения параметров $ {\color{Red} \alpha } $ и $ {\color{Red} \beta } $, при которых полином $ z^5+{\color{Red} \alpha }\,z^4+3\,z^3+{\color{Red} \beta }\,z+7 $ имеет чисто мнимые корни (т.е. корни вида $ z={\mathbf i} y $ при $ y \in \mathbb R $ и $ {\mathbf i} $ — мнимой единице). Выразить в этом случае чисто мнимые корни в виде функций от $ {\color{Red} \alpha } $ и $ {\color{Red} \beta } $.

2. На плоскости параметров $ ({\color{Red} \alpha }, {\color{Red} \beta }) $ построить область устойчивости полинома $$ x^6+11\,x^5+{\color{Red} \alpha } x^4+204\,x^3+397\,x^2+{\color{Red} \beta } x+231 \ . $$

3. Определить все вещественные значения параметра $ {\color{Red} \alpha } $, при которых система уравнений $$\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=3\,x^2+3\,xy+{\color{Red} \alpha }\,y^2-3\,x-12\,y+10=0 \ ,\\ g(x,y)=x^3+y^3-x^2+xy-5\,y^2-5\,x+7\,y-3=0 \ , \end{array}\right. $$ рассматриваемая относительно $ x_{} $ и $ y_{} $, не имеет вещественных решений.

4. Для полиномов $ f(x)= x^2+a_1x+a_2 $ и $ g(x)= x^2+b_1x+b_2 $ построить полином $ 4_{} $-й степени, имеющий корнями всевозможные попарные произведения корней рассматриваемых полиномов, т.е. числа $ \{\lambda_j\mu_k\}_{j,k=1}^2 $, где $ \lambda_j $ — корень полинома $ f_{}(x) $, а $ \mu_k $ — корень полинома $ g_{}(x) $. Решить также задачу для полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ произвольных степеней.

5. Для полинома $ f(x), \deg f \ge 2 $ построить полином $ F(y) $, корнями которого являются попарные суммы корней полинома $ f(x) $. Именно, если $ \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\} $ —система корней $ f(x) $, то система корней полинома $ F(y) $ должна совпадать с $ \{\lambda_j+ \lambda_k \} $ при $ 1\le j < k \le n $.

6. Доказать, что характеристический полином матрицы $ g(A) $, где $ A\in \mathbb C^{n\times n} $ совпадает с преобразованием Чирнгауза $ y=g(x) $ характеристического полинома матрицы $ A $.

7. Найти преобразование Чирнгауза $ y=e^x $ полинома $ x^3-3\,x+1 $.