Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ТЕОРИЯ ИСКЛЮЧЕНИЯ.

Результаты раздела формулируются для вещественных полиномов (и такими же полиномами иллюстрируются). Все они будут справедливы и для полиномов над $ \mathbb C $.

Симметрические полиномы на решениях системы алгебраических уравнений

Рассмотрим сначала систему из двух алгебраических уравнений $$ f_1(x,y)=0, \ f_2(x,y)=0 \, ; \{f_1,f_2\} \subset \mathbb R[x,y] \, . $$ Предположим, что ее множество решений не бесконечно, и не пусто: $$ \{(\alpha_j,\beta_j)\}_{j=1}^N \subset \mathbb C^2 \, . $$ Выражения $$ s_{k\ell}=\sum_{j=1}^N \alpha_j^k \beta_j^{\ell} , \ \{k,\ell\} \subset \{0,1,2,\dots \} \, . $$ называются обобщенными суммами Ньютона для системы $ f_1=0,f_2=0 $.

Метод Якоби

Наложим ограничения на старшие формы $$ f_{j,n_j}(x,y):=a_{j,0}x^{n_j}+a_{j,1}x^{n_j-1}y+\dots+a_{j,n_j}y^{n_j} $$ в разложениях полиномов $ f_1, f_2 $ по степеням $x,y $.

Предположение 1 . Пусть $a_{j,0}\ne 0, a_{j,n_j}\ne 0$ для $j\in\{1,2\}$. Иными словами $$ \deg_x f_j = \deg_y f_j = n_j \ \mbox{ при } j\in \{1,2\} \, . $$

Предположение 2 . Пусть число решений системы уравнений $ f_1=0, f_2=0 $ определяется теоремой Безу: $$ N:=n_1n_2 \ . $$

В соответствии с доказательством теоремы Безу, это предположение выполняется тогда и только тогда, когда результант $$ \mathcal A_0:=\mathcal R(f_{1,n_1}(x,1),f_{2,n_2}(x,1)) $$ отличен от нуля.

Вычислим элиминанты полиномов $ f_1(x,y),f_2(x,y) $ $$ \mathcal X(x):=\mathcal R_y(f_1,f_2), \ \mathcal Y(y):=\mathcal R_x(f_1,f_2) \, . $$ Найдем полиномы их линейного представления: $$\mathcal M(x,y) f_1+ \mathcal N(x,y) f_2 \equiv \mathcal X(x), \ \mathcal P(x,y) f_1+ \mathcal Q(x,y) f_2 \equiv \mathcal Y(y) \, . $$ Обозначим $$ \mathcal V(x,y):= \mathcal M(x,y) \mathcal Q(x,y) - \mathcal N(x,y) \mathcal P(x,y) $$ и $$ \mathfrak J(x,y) :=\frac{\partial f_1}{ \partial x} \frac{\partial f_2}{ \partial y} - \frac{\partial f_1}{ \partial y} \frac{\partial f_2}{\partial x} $$ — якобиан системы полиномов $ \{f_1,f_2\} $. Разложим рациональную функцию $ 1/ \mathcal X(x) $ в ряд Лорана по степеням $ x^{-1} $, а функцию $ 1/ \mathcal Y(y) $ в ряд Лорана по степеням $ y^{-1} $.

Т

Теорема 1. Для любого полинома $ g(x,y)\in \mathbb R[x,y] $ коэффициент при $ x^{-1} y^{-1} $ в разложении дроби

$$ \frac{g(x,y)\mathcal V(x,y) \mathfrak J(x,y)}{\mathcal X(x) \mathcal Y(y)} $$ по степеням $ x^{-1} $ и $ y^{-1} $ равен $$ \sum_{j=1}^N g(\alpha_j, \beta_j) \, . $$

Т

Теорема 2. Коэффициент при $ x^{-(k+1)} y^{-(\ell+1)} $ в разложении дроби

$$ \frac{\mathcal V(x,y) \mathfrak J(x,y)}{\mathcal X(x) \mathcal Y(y)} $$ по степеням $ x^{-1} $ и $ y^{-1} $ равен $$ s_{k \ell}=\sum_{j=1}^N \alpha_j^k \beta_j^{\ell} \, . $$

П

Пример. Вычислить обобщенные суммы Ньютона для системы

$$f_1(x,y):=x^2+y^2-3\,x-y=0,\ f_2(x,y):=x^2+6\, xy-y^2-7\, x - 11\, y +12=0 \, . $$

Решение. Имеем: $$ \mathcal Y(y):=\mathcal R_x(f_1,f_2)=40(y^4-2\,y^3-y^2+2\,y),\ \mathcal X(x):=\mathcal R_y(f_1,f_2)=40(x^4-7\,x^3+16\,x^2-12\,x) \, . $$ Полиномы линейных представлений этих результантов: $$ \mathcal M(x,y)= 38\,x^2-6\,xy-148\,x+12\,y+144, \ \mathcal N(x,y)=2\,x^2-6\,xy-4\,x+12\,y \ , $$ $$ \mathcal P(x,y)=6\,xy+38\,y^2-4\,x-56\,y+16,\ \mathcal Q(x,y)=-6\,xy-2\,y^2+4\,x+8\,y \, . $$ Из них составляем функцию $$ \mathcal V= \mathcal M \mathcal Q - \mathcal N \mathcal P = $$ $$ =-240\,x^3y-80\,x^2y^2+240\,xy^3+160\,x^3+1280\,x^2y-80\,xy^2-480\,y^3-640\,x^2-2080\,xy+480\,y^2+640\,x+960\,y \, . $$ Составляем якобиан полиномов $ f_1, f_2 $: $$ \mathfrak J(x,y) =12\,x^2-8\,xy-12\,y^2-38\,x+26\,y+26 \, . $$ Далее вычисляем разложения $ 1/\mathcal X(x) $ и $ 1/\mathcal Y(y) $ в ряды Лорана по степеням отрицательных степеней переменных: $$ \frac{1}{\mathcal X(x)}=\frac{1}{40}\left(\frac{1}{x^4}+\frac{7}{x^5}+\frac{33}{x^6}+\frac{131}{x^7}+\frac{473}{x^8}+\frac{1611}{x^9} + \dots \right) \, , $$ $$ \frac{1}{\mathcal Y(y)}=\frac{1}{40}\left(\frac{1}{y^4}+\frac{2}{y^5}+\frac{5}{y^6}+\frac{10}{y^7}+\frac{21}{y^8}+\frac{42}{y^9} + \dots \right) $$ Теперь собираем все полученное в одно разложение, в нем нас интересуют только члены, содержащие отрицательные степени обеих переменных: $$ \frac{\mathcal V(x,y) \mathfrak J(x,y)}{\mathcal X(x) \mathcal Y(y)}= $$ $$ =\dots + \frac{4}{xy}+\frac{7}{x^2y}+\frac{2}{xy^2}+\frac{17}{x^3y}+\frac{2}{x^2y^2}+\frac{6}{xy^3}+\frac{43}{x^4y}+\frac{4}{x^3y^2}+\frac{10}{x^2y^3}+\frac{8}{xy^4}+ \dots $$ Имеем: $$ s_{0,0}=4,\ s_{1,0}=7,\ s_{0,1}=2,\ s_{2,0}=17,\ s_{1,1}=2, \ s_{0,2}=6, \ s_{3,0}=43,\dots $$ Проверка. Решения системы: $ (2,-1),(2,2),(0,1), (3,0) $.

Следующий результат является аналогом в $ \mathbb R^2 $ равенств Эйлера-Лагранжа для полинома одной переменной.

Т

Теорема 3. Для любого полинома $ g(x,y)\in \mathbb R[x,y] $ степени $ \deg g < n_1+n_2-2 $ справедливо равенство Якоби:

$$ \sum_{j=1}^N \frac{g(\alpha_j, \beta_j)}{\mathfrak J(\alpha_j, \beta_j)}=0 \, . $$

П

Пример. Для системы предыдущего примера и при $ g(x,y)=3x+5y-7 $ имеем:

$$ \frac{g(2,-1)}{\mathfrak J(2,-1)}+\frac{g(2,2)}{\mathfrak J(2,2)}+\frac{g(0,1)}{\mathfrak J(0,1)}+\frac{g(3,0)}{\mathfrak J(3,0)}=\frac{1}{4}-\frac{3}{10}-\frac{1}{20}+\frac{1}{10}=0 \, . $$

Метод Пуассона

Источники

[1]. Jacobi C.G.J. Theoremata nova algebraica circa systema duarum aequationum, inter duas variabiles propositarum. J.reine angew. Math. 1835. Vol. 14, P. 281-288. Также в: Gesammelte Werke. Bd. 3. 287-294. Reimer. Berlin 1884

[2]. Jacobi C.G.J. De relationibus, quae locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvarum vel trium superficierum algebraicarum dati ordinis, simul cum enodatione paradoxi algebraici. J.reine angew. Math. 1836. Vol. 15, P. 285-308. Также в: Gesammelte Werke. Bd. 3.331-354. Reimer. Berlin 1884

[3]. Uteshev A.Yu., Shulyak S.G. Hermite's Method of Separation of Solutions of Systems of Algebraic Equations and its Applications. Linear Algebra Appl. 1992. V.177, P.49-88. Текст ЗДЕСЬ (pdf)

elimination_theory/symm_fun_jacobi.txt · Последние изменения: 2021/02/12 18:38 — au