Инструменты сайта


Симметрические полиномы на решениях системы алгебраических уравнений

Рассмотрим систему алгебраических уравнений $$ f_1(x,y)=0, \ f_2(x,y)=0 \, ; \{f_1,f_2\} \subset \mathbb R[x,y] \, . $$ Предположим, что ее множество решений не бесконечно, и не пусто: $$ \{(\alpha_j,\beta_j)\}_{j=1}^N \subset \mathbb C^2 \, . $$ Выражения $$ s_{k\ell}=\sum_{j=1}^N \alpha_j^k \beta_j^{\ell} , \ \{k,\ell\} \subset \{0,1,2,\dots \} \, . $$ называются обобщенными суммами Ньютона для системы $ f_1=0,f_2=0 $.

Метод Якоби

Вычислим элиминанты полиномов $ f_1(x,y),f_2(x,y) $ $$ \mathcal X(x):=\mathcal R_y(f_1,f_2), \ \mathcal Y(y):=\mathcal R_x(f_1,f_2) \, . $$ Найдем полиномы их линейного представления: $$\mathcal M(x,y) f_1+ \mathcal N(x,y) f_2 \equiv \mathcal X(x), \ \mathcal P(x,y) f_1+ \mathcal Q(x,y) f_2 \equiv \mathcal Y(y) \, . $$ Обозначим $$ \mathcal V(x,y):= \mathcal M(x,y) \mathcal Q(x,y) - \mathcal N(x,y) \mathcal P(x,y) $$ и $$ \mathfrak J(x,y) :=\frac{\partial f_1}{ \partial x} \frac{\partial f_2}{ \partial y} - \frac{\partial f_1}{ \partial y} \frac{\partial f_2}{\partial x} $$ — якобиан системы полиномов $ \{f_1,f_2\} $. Разложим рациональную функцию $ 1/ \mathcal X(x) $ в ряд Лорана по степеням $ x^{-1} $, а функцию $ 1/ \mathcal Y(y) $ в ряд Лорана по степеням $ y^{-1} $.

Т

Теорема 1. Для любого полинома $ g(x,y)\in \mathbb R[x,y] $ коэффициент при $ x^{-1} y^{-1} $ в разложении дроби

$$ \frac{g(x,y)\mathcal V(x,y) \mathfrak J(x,y)}{\mathcal X(x) \mathcal Y(y)} $$ по степеням $ x^{-1} $ и $ y^{-1} $ равен $$ \sum_{j=1}^N g(\alpha_j, \beta_j) \, . $$

Т

Теорема 2. Коэффициент при $ x^{-(k+1)} y^{-(\ell+1)} $ в разложении дроби

$$ \frac{\mathcal V(x,y) \mathfrak J(x,y)}{\mathcal X(x) \mathcal Y(y)} $$ по степеням $ x^{-1} $ и $ y^{-1} $ равен $$ s_{k \ell}=\sum_{j=1}^N \alpha_j^k \beta_j^{\ell} \, . $$

П

Пример. Вычислить обобщенные суммы Ньютона для системы $ f_1=0,f_2=0 $ при

$$f_1(x,y)=x^2+y^2-3\,x-y, f_2(x,y)=x^2+6\, xy-y^2-7\, x - 11\, y +12 \, . $$

Т

Теорема 3. Для любого полинома $ g(x,y)\in \mathbb R[x,y] $ степени $ \deg g < n_1+n_2-2 $ справедливо равенство Якоби:

$$ \sum_{j=1}^N \frac{g(\alpha_j, \beta_j)}{\mathfrak J(\alpha_j, \beta_j)}=0 \, . $$

Метод Пуассона

Источники

Jacobi C.G.J. Theoremata nova algebraica circa systema duarum aequationum, inter duas variabiles propositarum. J.reine angew. Math. 1835. Vol. 14, P. 281-288. Также в: Gesammelte Werke. Bd. 3. 287-294. Reimer. Berlin 1884

Jacobi C.G.J. De relationibus, quae locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvarum vel trium superficierum algebraicarum dati ordinis, simul cum enodatione paradoxi algebraici. J.reine angew. Math. 1836. Vol. 15, P. 285-308. Также в: Gesammelte Werke. Bd. 3.331-354. Reimer. Berlin 1884

Uteshev A.Yu., Shulyak S.G. Hermite's Method of Separation of Solutions of Systems of Algebraic Equations and its Applications. Linear Algebra Appl. 1992. V.177, P.49-88. Текст ЗДЕСЬ (pdf)

elimination_theory/symm_fun_jacobi.txt · Последние изменения: 2020/12/06 18:53 — au