VMath

Вспомогательная страница к разделу ☞ ЗАДАЧА ФЕРМА-ТОРРИЧЕЛЛИ И ЕЕ РАЗВИТИЕ

Пусть точка $ P \in \mathbb R^n $ является решением системы уравнений $$ \sum_{j=1}^K m_j \frac{PP_j}{|PP_j|}=\mathbb O_{n\times 1}\, . $$ Тогда она является точкой минимума функции $ F(P)=\sum_{j=1}^Km_j |PP_j| $. Действительно, для $ \forall Y \in \mathbb R^n $ имеем на основании теоремы Коши-Буняковского для стандартного скалярного произведения $ \langle . , . \rangle $ векторов из $ \mathbb R^n $: $$ \sum_{j=1}^K m_j |YP_j| \ge \sum_{j=1}^K m_j \frac{\langle YP_j, PP_j \rangle}{|PP_j|}= $$ $$ =\sum_{j=1}^K m_j \frac{\langle YP+PP_j, PP_j \rangle}{|PP_j|}=\sum_{j=1}^K m_j|PP_j| + \sum_{j=1}^K m_j \frac{\langle YP, PP_j \rangle}{|PP_j|}= $$ Далее, на основании свойств 2 и 3 скалярного произведения: $$ =\sum_{j=1}^K m_j|PP_j| +\big\langle YP, \sum_{j=1}^K m_j \frac{PP_j}{|PP_j|} \big\rangle =\sum_{j=1}^K m_j|PP_j| \, . $$