Задача. Выразить $ \cos^n \varphi $ и $ \sin^n \varphi $ через косинусы и синусы кратных углов, т.е. через $$ \cos \varphi,\sin \varphi,\cos 2\varphi , \sin 2\varphi ,\dots, \cos n\varphi , \sin n\varphi \, . $$

Для пояснения идеи решения рассмотрим сначала случай $ n=6 $. Обозначим $ z= \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi $, тогда $ 1/z=\cos \varphi - \mathbf i \sin \varphi =\overline{z} $. Легко показать справедливость формулы: $$ z^k+\frac{1}{z^k}=2\, \cos k \varphi \ npu \ k \in \mathbb N \ . $$ Рассмотрим выражение $ (z+1/z)^6 $. С одной стороны, оно равно $ 2^6 \cos^6 \varphi $. С другой стороны, формула бинома Ньютона позволяет выписать разложение: $$ (z+1/z)^6=z^6+ C_6^1 z^4 + C_6^2 z^2 + C_6^3 + C_6^4 \frac{1}{z^2}+ C_6^5 \frac{1}{z^4} + \frac{1}{z^6} = $$ Воспользуемся симметрией ряда биномиальных коэффициентов (см. свойство 3 ☞ ЗДЕСЬ ): $ C_6^1=C_6^5,\ C_6^2=C_6^4 $, получаем $$ \qquad =\left(z^6+ \frac{1}{z^6} \right) + C_6^1 \left(z^4+ \frac{1}{z^4} \right) + C_6^2 \left(z^2+ \frac{1}{z^2} \right) + C_6^3 = $$ $$ \qquad = 2\, \cos 6 \varphi + 2\, C_6^1 \cos 4 \varphi + 2\, C_6^2 \cos 2 \varphi + C_6^3 \ . $$ Сравнивая два выражения, приходим к искомой формуле: $$\cos^6 \varphi=\frac{1}{32}\left(\cos 6 \varphi + 6\, \cos 4 \varphi + 15\, \cos 2 \varphi + 10 \right) \ . $$ Аналогично доказывается и общая формула: $$ 2^n \cos^n \varphi =2\, \cos n \varphi + 2n \, \cos (n-2) \varphi + 2C_n^2 \cos (n-4) \varphi + \dots + \left\{ \begin{array}{ccc} C_n^{n/2} & npu & n \ \mbox{ четном} , \\ 2C_n^{(n-1)/2} \cos \varphi & npu & n \ \mbox{ нечетном} . \end{array} \right. $$

Выведение аналогичной формулы для $ \sin^n \varphi $ возможно с помощью равенства $$ z^k-\frac{1}{z^k}=2\mathbf i\, \sin k \varphi \ . $$ $$ 2^n \sin^n \varphi= $$ $$ =\left\{ \begin{array}{rl} (-1)^{n/2}\left( 2\, \cos n\varphi - 2n\, \cos (n-2) \varphi + 2C_n^2 \cos (n-4) \varphi - \dots +(-1)^{n/2} C_n^{n/2} \right) & \mbox{ при } \ n \ \mbox{ четном} , \\ (-1)^{(n-1)/2}\Big( 2\, \sin n\varphi - 2n\, \sin (n-2) \varphi + 2C_n^2 \sin (n-4) \varphi - \dots + (-1)^{(n-1)/2}2C_n^{(n-1)/2} \sin \varphi \Big) & \mbox{ при } \ n \ \mbox{ нечетном} . \end{array} \right. $$