1. Сколько ветвей у кривой $$ 4\,(x^2+y^2+2)(x^2+y^2-1)^2-(y+1/2)(\sqrt{3}x-y+1)(\sqrt{3}x+y-1)(9\,(x^2+y^2)-17)=0 \ ? $$

2. Построить все ветви кривой a) $$ -\frac{1}{4}x^6-\frac{3}{4}x^4y^2-\frac{3}{4}x^2y^4-\frac{1}{4}y^6+4\,x^5+\frac{10521}{80}x^4y+\frac{11801}{200}x^3y^2+ \frac{120211}{1000}x^2y^3+\frac{11001}{200}xy^4-\frac{22603}{2000}y^5 $$ $$ -\frac{12921}{80}x^4-\frac{41954}{25}x^3y -\frac{1216713}{1000}x^2y^2-\frac{286927}{250}xy^3+\frac{1648391}{10000}y^4+\frac{353431}{200}x^3+\frac{1007046}{125}x^2y+\frac{6556419}{1000}xy^2- $$ $$ -\frac{349271}{2500}y^3-\frac{3679433}{500}x^2-\frac{4422621}{250}xy-\frac{7995361}{2500}y^2+\frac{1585846}{125}x+\frac{5915236}{625}y-\frac{4038164}{625}=0 \ . $$

б). $$ -50\,x^6-150\,x^4y^2-150\,x^2y^4-50\,y^6+800\,x^5+1925\,x^4y+2050\,x^3y^2+2590\,x^2y^3+1250\,xy^4+665\,y^5- $$ $$ -7925\,x^4-23600\,x^3y-22970\,x^2y^2-18920\,xy^3-4281\,y^4+51150\,x^3+113520\,x^2y+104110\,xy^2+27444\,y^3- $$ $$ -172940\,x^2-253960\,xy-123996\,y^2+259520\,x+220384\,y-156416=0 $$

3. Проанализировать стационарные точки полинома $$ 5\,x^2-5\,xy+5\,y^2+4\,x^3-xy^2-x^2y+4\,y^3+x^4+y^4 $$ на наличие в них экстремума.

4. Доказать, что линии уровня полиномов $$ f= 3\,x^5-30\,x^3y^2+15\,xy^4-2\,x^3+6\,xy^2+7\,x^2-7\,y^2-x $$ и $$g=15\,x^4y-30\,x^2y^3+3\,y^5-6\,x^2y+2\,y^3+14\,xy-y $$ взаимно ортогональны.

5. Доказать, что в формуле Тейлора для полинома $ f(x_1,x_2,x_3) $ члены третьего порядка относительно $ x_1-c_1,x_2-c_2, x_3-c_3 $ можно записать в виде $$ \frac{1}{6} Y^{\top} \left[ (x_1-c_1)H (\partial f / \partial x_1)+ (x_2-c_2)H (\partial f / \partial x_2)+ (x_3-c_3)H (\partial f / \partial x_3) \right] \mid_{_{(c_1,c_2,c_3)}} Y \, . $$ Здесь $ Y^{\top}=[x_1-c_1,x_2-c_2, x_3-c_3 ] $, а $ H $ — матрица Гессе.

6. Доказать, что множество концов векторов $$ (\cos \alpha, \sin \alpha)\times \mbox{ скорость возрастания } f(x,y) \mbox{ в направлении } (\cos \alpha, \sin \alpha), \mbox{ вычисленная в точке } \ (x_0,y_0) $$ при $ \alpha \in [0,\pi] $ образует окружность диаметра, равного длине вектора $ \operatorname{grad} (f) \Bigg|_{(x_0,y_0)} $.

7. Найти все значения параметра $ {\color{Red}{\alpha}} $, при которых полином ( потенциал Хенона-Хейлеса ) $$ x^2y-\frac{1}{3} y^3 + \frac{1}{2} (x^2+y^2) - {\color{Red}{\alpha}} $$ будет приводим над $ \mathbb R $.

8. Найти все значения параметра $ {\color{Red}{ \alpha} } $, при которых полином

$$ f_{\alpha}(x,y):=\frac{17}{16}{x}^{4}+4\,{x}^{2}{y}^{2}+17\,{y}^{4}-\frac{5}{2}\,{x}^{2}- 10\,{y}^{2}+{\color{Red}{ \alpha} } $$ будет приводим над $ \mathbb C $.

9. Чему равен $ \operatorname{grad} (\det A) $, если матрица $ A \in \mathbb R^{n\times n} $ рассматривается как функция своих $ n^2 $ элементов?

10. Вычислить гессианы функций (a) $ \displaystyle \sum_{j=1}^n x_j^2 $ и (b) $ \sqrt{ \displaystyle \sum_{j=1}^n x_j^2} $.

11. Доказать, что градиент квадратичной формы $ X^{\top}A X $ (при $ A=A^{\top} $) равен $ 2X^{\top}A $ если рассматривается как строка и $ 2\, A X $ если рассматривается как столбец.