1. Доказать, что корень из положительно определенной матрицы $ A_{} $ второго порядка может быть вычислен по формуле $$ \sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{\operatorname{Sp} (A) + 2 \sqrt{\det A }}}\left(A+E \sqrt{\det A } \right) \, . $$

2. Вычислить

a) $$ \sin \left( \pi \left[\begin{array}{ccc} 1& 0& 0 \\ 1& 1& 0 \\ 0& 1& 1 \end{array}\right] \right) \ ; $$ b) $$ \sin \left( \left[\begin{array}{ccc} \pi& 0& 0 \\ 1& \pi& 0 \\ 0& 1& \pi \end{array}\right] \right) \quad . $$

3. Найти $ A^A_{} $ для $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 3&2&-3\\ 4&10&-12\\ 3&6&-7 \end{array}\right). $$

4. * Найти $ A^{B} $ для $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 24&-11&-22\\ 20&-\ 8&-20\\ 12&-\ 6&-10 \end{array}\right) \ , \qquad B=\left(\begin{array}{ccc} 112& -55& -110 \\ 100& -48& -100 \\ 60& -30& -58 \end{array}\right) $$

5. Пусть все собственные числа матрицы $ A_{n \times n} $ различны. Доказать, что если матрица $ B $ коммутирует с матрицей $ A $, т.е. $ AB=BA $, то существует полином $ g(x) $ степени $ \le n-1 $ такой, что $ B=g(A) $. Доказать, что для того, чтобы матрица $ B $ была обратима, необходимо и достаточно, чтобы полиномы $ g(x) $ и $ f(x)=\det(A- xE) $ были взаимно просты (или, что то же, результант этих полиномов был отличен от нуля).

6. Вычислить $$ \left( \begin{array}{rrrrrr} \lambda & & & & & \\ 1 & \lambda & &\mathbb O & & \\ 0& 1 & \lambda & & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots & & \\ 0 & 0 & \dots & 1 & \lambda & \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 &\lambda \end{array} \right)_{k\times k}^{-1} $$ при $ \lambda \ne 0 $.

7. Доказать, что для ковариантов Фробениуса, в случае их существования, выполняются равенства:

(a) $ M_j(A)M_k(A) = \mathbb O_{n\times n} $ если $ j \ne k $;

(b) матрица $ M_k(A) $ идемпотентна, т.е. ее квадрат совпадает с ней самой;

( c) справедливы равенства $$ \sum_{k=1}^n M_k(A)=E_{n\times n}, \ \sum_{k=1}^n \lambda_k M_k(A) = A \, . $$

8. Верна ли «матричная формула Муавра»

$$ \left(\cos A + \mathbf i \, \sin A \right)^m = \cos (m A) + \mathbf i \, \sin (m A) \quad \mbox{при} \ A\in \mathbb R^{n\times n}, \, m \in \mathbb N \ ? $$