Ряд последовательных нечетных чисел разбивается на группы скобками $$ (1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19), \dots $$ ( $ k_{} $-я скобка содержит $ k_{} $ чисел). Показать, что сумма чисел $ k_{} $-й скобки равна $ k^3 $ .

Существует ли на свете два человека с одинаковым числом волос на голове?

Решение ☞ ЗДЕСЬ

Теорема. Обозначим остаток от деления $ 10_{} $ на число $ B_{} $ через $ r_1 $; остаток от деления $ 10 r_1 $ на $ B_{} $ — через $ r_2 $; остаток от деления $ 10 r_2 $ на $ B_{} $ — через $ r_3 $ и т.д. Для того чтобы число $$ A=\underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} = {\mathfrak a}_1\times 10^s+{\mathfrak a}_2 \times 10^{s-1} + \dots +{\mathfrak a}_s \times 10 + {\mathfrak a}_{s+1} $$ делилось на $ B_{} $ необходимо и достаточно чтобы на $ B_{} $ делилось число $$ {\mathfrak a}_{s+1}+{\mathfrak a}_{s}r_1+{\mathfrak a}_{s-1}r_2+{\mathfrak a}_{s-2}r_3+\dots \ . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Источник.

Pascal B. Caractères de divisibilité des nombres.

Каким наименьшим числом гирь и какого веса можно отвесить на весах любое целое число фунтов от $ 1_{} $ до $ 40_{} $ при условии, что гири можно класть на обе чашки весов?

Баше де Мезириак Клод Гаспар (Bachet de Méziriac Claude Gaspar, 1581-1638), автор популярного сборника математических головоломок. Биография ☞ ЗДЕСЬ. Задача была решена еще Фибоначчи в 1202 г.

Семь провинциалов собрались к обеду, но между ними возник церемонный спор, кому и с кем садиться. Чтобу прекратить пререкания, кто-то из присутствующих предложил всем сесть за стол как придется, но с условием, чтобы вновь собраться на другой день и затем в следующие дни обедать вместе, причем каждый раз садиться по-разному до тех пор, пока не будут использованы все возможные комбинации. Спрашивается, сколько раз придется им обедать вместе для этой цели?

Озанам дает ответ в $ 5040 $ раз. Прав ли он?

Найти число, которое при делении на $ 17, 13 $ и $ 10_{} $ дает соответственно остатки $ 15,11 $ и $ 3_{} $.

Общий метод решения подобных задач ☞ ЗДЕСЬ.

Мюллер Иоганн (Müller Johann, 1436-1476), немецкий математик, прозван Regiomontanus по месту своего рождения (Кёнигсберг, латинизированное название Monte Regio). Биография ☞ ЗДЕСЬ.

В 1615 г. Галилей обнаружил, что последовательность нечетных натуральных чисел обладает свойством $$ \frac{1}{3}=\frac{1+3}{5+7}=\frac{1+3+5}{7+9+11}=\dots $$ т.е. отношение суммы любых первых $ n_{} $ нечетных чисел к сумме последующих $ n_{} $ нечетных чисел всегда постоянна. Это наблюдение имело отношение к его работе о свободном падении тел. Действительно, если расстояние пропорционально квадрату времени и равно $ 1_{} $ за первый временной интервал, то расстояние, пройденное за несколько интервалов времени, будет полным квадратом, а расстояния, пройденные за каждый интервал времени будут нечетными числами. Если мы изменим временнýю шкалу и сделаем новый интервал отсчета равным множителю исходного интервала, то отношение расстояния, пройденного за первые два (новых) интервала должно остаться неизменным. Но это как раз и является «физическим смыслом» равенства: расстояние, пройденное за $ n_{} $ первых интервалов всегда равно трети от расстояния, пройденного за $ n_{} $ следующих интервалов.

Галилей считал, что последовательность нечетных натуральных чисел — единственная арифметическая прогрессия с указанным свойством, и это служило ему достаточным аргументом подтверждающим закон свободного падения.

Был ли прав ли Галилей? Можно ли указать целочисленные последовательности, у которых отношение суммы первых $ n_{} $ их членов к сумме следующих $ n_{} $ их членов всегда постоянна? [2].

Доказать, что при $ m_{} $ и $ n_{} $ — натуральных сумма всех дробей вида $$ \frac{1}{(m+1)^{n+1}} $$ имеет пределом единицу.

На неограниченной прямой, соединяющей два источника света, найти точку равноосвещенную обоими источниками.

Клерó Алекси Клод (Clairaut Alexis Claude , 1713-1765), французский математик, астроном и геодезист; изучал математику под руководством своего отца. Первый научный результат был доложен им французской Академии наук в возрасте 12 лет. Избран в Академию в 18 лет. Участвовал в экспедициях в Лапландию по измерению длины градуса меридиана. Ввел в математику понятия криволинейного интеграла и полного дифференциала. Биография ☞ ЗДЕСЬ.

Пусть через вершины треугольника $ ABC $ и произвольную точку $ O_{} $, лежащую внутри его, проведены прямые, пересекающие стороны $ AB, AC, BC $ соответственно в точках $ C_1, B_1 $ и $ A_{1} $, определяя на каждой из них два отрезка. Тогда произведения длин каждых трех отрезков, не имеющих общей вершины, равны между собой: $$ |AC_1| \cdot |BA_1|\cdot |CB_1|=|AB_1|\cdot |CA_1| \cdot |BC_1 | \ .$$

Решение ☞ ЗДЕСЬ

Чева Джиованни (Ceva Giovanni, 1647-1734), итальянский геометр и механик; кроме того, он, фактически первым попытался применить математику в экономике: один из его трудов посвящен установлению условий равновесия денежной системы Мантуи. Биография ☞ ЗДЕСЬ

Определить рациональные решения уравнения $ x^y=y^x $.

Доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма четырех квадратов, также равно сумме четырех квадратов.

Решение ☞ ЗДЕСЬ

Если после потопа человеческий род размножился от $ 6_{} $ человек и если предположим, что двести лет спустя число людей возросло до миллиона, спрашивается: на какую часть должно было увеличиваться население ежегодно?

Доказать, что в прямоугольном тетраэдре квадрат площади грани, лежащей против трехгранного угла, равен сумме квадратов площадей трех остальных граней.

Источник.

Meier Hirsch. Sammlung Geometrischer Aufgaben.1807. Переиздание книги 1837 года выложено ☞ ЗДЕСЬ

Некто имеет $ 12_{} $ пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него два сосуда, один в $ 8_{} $, другой в $ 5_{} $ пинт; спрашивается: каким образом налить $ 6_{} $ пинт в сосуд в $ 8_{} $ пинт?

Решение ☞ ЗДЕСЬ

Пуассон Симеон Дени (Poisson Siméon-Denis, 1781-1840) — французский математик и физик, биография ☞ ЗДЕСЬ. По поводу этой задачи Араго¹⁾ рассказывает, что она решила судьбу Пуассона, так как, заинтересовавшись ею, он тем самым открыл свое призвание и посвятил всю жизнь математике. Задача в аналогичной постановке (для набора стартовых данных $ (8,5,3) $) содержится в сборнике «Thaumaturgus mathematicus», изданном в Кёльне в 1651 г.

Доказать, что при $ n>2_{} $ имеет место неравенство $ 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \times \dots \times n^2> n^n $.

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Шлёмильх Оскар (Schlömilch Oscar Xaver, 1823-1901) — немецкий математик. Основатель и редактор журнала Zeitschrift für Mathematik und Physik. Биография ☞ ЗДЕСЬ.

Найти точку плоскости, cумма квадратов расстояний от которой до сторон треугольника, лежащего в этой же плоскости, минимальна.

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Доказать, что при $ n\in \mathbb N $ выражение $ 4^{2n} - 3^{2n}-7 $ кратно $ 84_{} $.

Чашка, имеющая вид полушария, наполнена водой, а затем наклонена на угол $ 45^{o} $. Доказать, что выльется около $ 88_{}\% $ воды.

Все задачи, кроме особо отмеченных, взяты из [1].

[1]. Попов Г.Н. Сборник исторических задач по элементарной математике. М.-Л.ГТТИ.1932

[2]. May K.O. Galileo sequences, a good dangling problem. The Amer.Math.Monthly. V.79, № 1, 1972, pp. 67-69

[3]. Дингельдэй Фр. Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. С.-Петербург. 1912