Пусть через вершины треугольника $ ABC $ и произвольную точку $ O_{} $, лежащую внутри его, проведены прямые, пересекающие стороны $ AB, AC, BC $ соответственно в точках $ C_1, B_1 $ и $ A_{1} $, определяя на каждой из них два отрезка. Тогда произведения длин каждых трех отрезков, не имеющих общей вершины, равны между собой: $$ |AC_1| \cdot |BA_1|\cdot |CB_1|=|AB_1|\cdot |CA_1| \cdot |BC_1 | \ .$$

Решение. Поскольку треугольники $ AOB $ и $ AOC $ имеют общее основание $ AO $, то площади их относятся как их высоты или как $ |BA_1| $ и $ |CA_1| $; аналогичное имеет место для треугольников $ BOC $ и $ BOA $ и треугольиков $ COA $ и $ COB $. Поэтому $$ \frac{S(AOB)}{S(AOC)}=\frac{|BA_1|}{|CA_1|}\ , \ \frac{S(BOC)}{S(BOA)}=\frac{|CB_1|}{|AB_1|}\ , \frac{S(COA)}{S(COB)}=\frac{|AC_1|}{|BC_1|} \ . $$ Перемножение дробей дает требуемое равенство.

Источники.

De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructione

Попов Г.Н. Сборник исторических задач по элементарной математике. М.-Л.ГТТИ.1932