VMath

[Шлёмильх] ¹⁾. Доказать, что при $ n>2_{} $ имеет место неравенство $ 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \times \dots \times n^2> n^n $ (или в записи с использованием факториала: $ (n!)^2 > n^n $).

Решение. Пусть $ n>m+1 $. Умножим на $ m_{} $ обе части этого неравенства, получим: $$ nm>m^2+m \quad \Rightarrow \quad nm+n>m^2+m+n \quad \Rightarrow \quad (n-m)(m+1)>n \ . $$ Полагая $ m_{} $ последовательно равным $ 0,1,2,\dots , n-1 $, получим: $$ \begin{array}{rcc} n \cdot 1 & = & n, \\ (n-1) \cdot 2 & > & n, \\ (n-2) \cdot 3 & > & n, \\ (n-3) \cdot 4 & > & n, \\ \vdots & & \vdots \\ 2\cdot (n-1) & > & n,\\ 1 \cdot n &= & n. \end{array} $$ Перемножение дает требуемый результат.

Попов Г.Н. Сборник исторических задач по элементарной математике. М.-Л.ГТТИ.1932