Для простоты, будем предполагать все числа настоящего пункта, а также коэффициенты полиномов вещественными числами.

Обозначения: $$ \tau_{\ell} := \displaystyle \sum_{j=1}^{N} y_j \frac{x_j^{\ell}}{W^{\prime}(x_j)} , \ W(x):=\prod_{j=1}^N (x- x_j) \, . $$

Теорема. Пусть $ E \in \{2,3,\dots, \lfloor N/2 \rfloor-1 \} $ и $ e_1,\dots,e_E $ — различные числа из $ \{1,2,\dots, N\} $. Пусть полином $ f(x) $ имеет степень $ n< N-2E $. Пусть интерполяционная таблица

$$ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 & \ldots & y_N \end{array} $$ удовлетворяет условиям

1. $ y_j=f(x_j) $ при $ j \in \{1,\dots, N\} \setminus \{ e_1,\dots,e_E \} $,

2. $ \widehat y_{e_s}:=f(x_{e_s}) \ne y_{e_s} $ при $ s\in \{1,\dots, E \} $.

Тогда корнями полинома $$ \mathcal H_{E} (x;\{\tau\}):= \left| \begin{array}{lllll} \tau_0 & \tau_1 & \tau_2 & \ldots & \tau_{E} \\ \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 &\ldots & \tau_{E+1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tau_{E-1} & \tau_{E} & \tau_{E+1} & \ldots & \tau_{2E-1} \\ 1 & x & x^2 & \ldots & x^{E} \end{array} \right| $$ являются узлы, в которой табличные значения не совпадают со значениями полинома $ f(x) $: $$ \mathcal H_{E} (x;\{\tau\}) \equiv \frac{ \displaystyle \prod_{s=1}^E ( y_{e_s} - \widehat y_{e_s}) \prod_{1\le s < t \le E } ( x_{e_t} - x_{e_s})^2 }{\displaystyle \prod_{s=1}^E W^{\prime}(x_{e_s})} \prod_{s=1}^E (x-x_{e_s}) \, . $$

Доказательство. Предположим, для упрощения обозначений, что все узлы, соответствующие ошибочным значениям $ y $, сконцентрированы в начале таблицы: $ \{ e_s=s \}_{s=1}^E $. Обозначим $$ \theta_{\ell}:=\sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_sx_s^{\ell}}{W^{\prime}(x_s)}, \quad \mbox{ где } \quad \varepsilon_j:=y_j-\widehat y_j \quad \mbox{ для } \quad j\in \{1,\dots, E \}, \ell \in \{0,1,2,\dots\} \, . $$ Представим выражение для $ \tau_{\ell} $ в виде $$ \tau_{\ell}=\sum_{s=1}^E \frac{ \varepsilon_s x_s^{\ell} }{W^{\prime}(x_s)}+ \sum_{j=1}^N\frac{f(x_j)x_j^{\ell}}{W^{\prime}(x_j)} = \theta_{\ell} \quad \mbox{ где } \ \ell \in \{0,\dots, N-n-2\} \, , $$ здесь последнее равенство следует из равенств Эйлера-Лагранжа. Перепишем выражение для $ \mathcal H_{E} (x;\{\tau\}) $: $$ \mathcal H_{E} (x;\{\tau\})\equiv \mathcal H_{E} (x;\{\theta\}) \equiv \left|\begin{array}{lllll} \theta_0 & \theta_1 & \dots & \theta_{E-1} & \theta_{E} \\ \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{E} & \theta_{E+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ \theta_{E-1} & \theta_E & \dots & \theta_{2E-2} & \theta_{2E-1} \\ 1 & x & \dots & x^{E-1} & x^E \end{array} \right| \, . $$ Множество корней этого полинома совпадает с $ \{x_1,\dots,x_E\} $. Это следует из линейных свойств определителя: $$ \sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell-1}}{W^{\prime}(x_s)} \mathcal H_{E} (x_s;\{\theta\})= \left|\begin{array}{ccccc} \theta_0 & \theta_1 & \dots & \theta_{E-1} & \theta_{E} \\ \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{E} & \theta_{E+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ \theta_{E-1} & \theta_E & \dots & \theta_{2E-2} & \theta_{2E-1} \\ \displaystyle \sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell-1}}{W^{\prime}(x_s)} & \displaystyle \sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell}}{W^{\prime}(x_s)} & \dots & \displaystyle \sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell+E-2}}{W^{\prime}(x_s)} & \displaystyle \sum_{s=1}^E \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell+E-1}}{W^{\prime}(x_s)} \end{array} \right|= $$ $$ =\left|\begin{array}{lllll} \theta_0 & \theta_1 & \dots & \theta_{E-1} & \theta_{E} \\ \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{E} & \theta_{E+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ \theta_{E-1} & \theta_E & \dots & \theta_{2E-2} & \theta_{2E-1} \\ \theta_{\ell-1} & \theta_{\ell} & \dots & \theta_{\ell+E-2} & \theta_{\ell+E-1} \end{array} \right|=0 \quad \mbox{ при } \ \ell\in \{1,\dots,E\} $$ (одинаковые строки у определителя). Эти равенства составляют систему из $ E $ линейных однородных уравнений относительно величин $ \left\{\mathcal H_{E} (x_s;\{\theta\}) \right\}_{s=1}^E $. Определитель этой системы мгновенно преобразуется к определителю Вандермонда $$ \det \left[ \frac{\varepsilon_s x_s^{\ell-1}}{W^{\prime}(x_s)} \right]_{\ell,s=1}^E=\frac{\displaystyle \prod_{s=1}^E \varepsilon_s}{ \displaystyle \prod_{s=1}^E W^{\prime}(x_s)} \det \left[x_s^{\ell-1} \right]_{\ell,s=1}^E=\frac{\displaystyle \prod_{s=1}^E \varepsilon_s \prod_{1\le \ell < t \le E } ( x_{t} - x_{\ell})}{\displaystyle \prod_{s=1}^E W^{\prime}(x_s)} \, , $$ и он отличен от нуля по предположению 2 теоремы. Поэтому (см. теорему $ 1 $ ☞ ЗДЕСЬ) все величины $ \left\{\mathcal H_{E} (x_s;\{\theta\}) \right\}_{s=1}^E $ должны равняться нулю и, следовательно, $$ \mathcal H_{E} (x;\{\tau\}) \equiv C \prod_{s=1}^E (x-x_s) $$ при некоторой константе $ C \in \mathbb R $. Выражение для старшего коэффициента полинома $ \mathcal H_{E} (x;\{\theta\}) $ похоже на значение предыдущего определителя: $$ \left|\begin{array}{llll} \theta_0 & \theta_1 & \dots & \theta_{E-1} \\ \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{E} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \theta_{E-1} & \theta_E & \dots & \theta_{2E-2} \end{array} \right|= $$ $$ =\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_{E} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{E-1} & x_2^{E-1} & \dots & x_E^{E-1} \end{array} \right| \cdot \left|\begin{array}{cccc} \varepsilon_1/W^{\prime}(x_1) & 0 & \dots & 0 \\ & \varepsilon_2/W^{\prime}(x_2) & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \varepsilon_E/W^{\prime}(x_E) \end{array} \right|\cdot \left|\begin{array}{cccc} 1 & x_1 & \dots & x_1^{E-1} \\ 1 & x_2 & \dots & x_2^{E-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_E & \dots & x_E^{E-1} \end{array} \right|= $$ $$ =\frac{\displaystyle \prod_{s=1}^E \varepsilon_s \prod_{1\le \ell < t \le E } ( x_{t} - x_{\ell})^2}{\displaystyle \prod_{s=1}^E W^{\prime}(x_s)} \, . $$ Что и завершает доказательство теоремы. ♦